Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=﹣2x+10與x軸，y軸相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（8，4），連接AC，BC．

（1）求過O，A，C三點(diǎn)的拋物線的解析式，并判斷△ABC的形狀；

（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿OB以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．規(guī)定其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，PA=QA？

（3）在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)M，使以A，B，M為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x，BC是直角三角形；（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為時(shí)，PA=QA；

（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為：M1（， ），M2（， ），M3（， ），M4（，﹣）．

【解析】（1）先確定出點(diǎn)A，B坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；用勾股定理逆定理證出AC2+BC2=AB2，則△ABC是直角三角形；

（2）根據(jù)運(yùn)動(dòng)表示出OP=2t，CQ=10﹣t，由已知條件證明Rt△AOP≌Rt△ACQ，得到OP=CQ即可；

（3）分當(dāng)BM=BA，AM=AB，MA=MB三種情況分類討論，由兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算即可，

解：（1）∵直線y=﹣2x+10與x軸，y軸相交于A，B兩點(diǎn)，

∴A（5，0），B（0，10），

∵拋物線過原點(diǎn)，

∴設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx，

∵拋物線過點(diǎn)A（5，0），C（8，4），

∴，∴，

∴拋物線解析式為y=x2﹣x，

∵A（5，0），B（0，10），C（8，4），

∴AB2=52+102=125，BC2=82+（10﹣4）2=100，AC2=42+（8﹣5）2=25，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC是直角三角形．

（2）如圖1，

當(dāng)P，Q運(yùn)動(dòng)t秒，即OP=2t，CQ=10﹣t時(shí)，

由（1）得，AC=OA，∠ACQ=∠AOP=90°，

在Rt△AOP和Rt△ACQ中，

AC=OA，PA=QA，

∴Rt△AOP≌Rt△ACQ，

∴OP=CQ，

∴2t=10﹣t，

∴t=，

∴當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為時(shí)，PA=QA；

（3）存在，

∵y=x2﹣x，

∴拋物線的對(duì)稱軸為x=，

∵A（5，0），B（0，10），

∴AB=5

設(shè)點(diǎn)M（，m），

①若BM=BA時(shí)，

∴（）2+（m﹣10）2=125，

∴m1=，m2=，

∴M1（， ），M2（， ），

②若AM=AB時(shí)，

∴（）2+m2=125，

∴m3=，m4=﹣，

∴M3（， ），M4（，﹣），

③若MA=MB時(shí)，

∴（﹣5）2+m2=（）2+（10﹣m）2，

∴m=5，

∴M（，5），此時(shí)點(diǎn)M恰好是線段AB的中點(diǎn)，構(gòu)不成三角形，舍去，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為：M1（， ），M2（， ），M3（， ），M4（，﹣），

“點(diǎn)睛”此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的全等的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是分情況討論，也是本題的難點(diǎn)．