【題目】（10分）一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如圖1，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上．

（1）求證：△AEF∽△ABC；

（2）求這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)；

（3）如果把它加工成矩形零件如圖2，問(wèn)這個(gè)矩形的最大面積是多少？

【答案】（1）證明見試題解析；（2）48；（3）2400．

【解析】

試題（1）根據(jù)矩形的對(duì)邊平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一邊的直線截其他兩邊或其他兩邊的延長(zhǎng)線，得到的三角形與原三角形相似”判定即可．

（2）根據(jù)正方形邊的平行關(guān)系，得出對(duì)應(yīng)的相似三角形，即△AEF∽△ABC，△BFG∽△BAD，從而得出邊長(zhǎng)之比＝，＝，得到+＝+＝1，進(jìn)而求出正方形的邊長(zhǎng)；

（3）分別討論長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬在BC上的情況，再根據(jù)相應(yīng)得關(guān)系式EF BC +EG．

試題解析

（1）∵四邊形EGFH為矩形，

∴BC∥EF，

∴△AEF∽△ABC；

（2）設(shè)正方形零件的邊長(zhǎng)為x，

在正方形EFGH中，EF∥BC∴△AEF∽△ABC∴即，

解得：x=48，

即：正方形零件的邊長(zhǎng)為48；

（3）設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為x，寬為y，

當(dāng)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)在BC時(shí)，，，

，

當(dāng)x=60時(shí)，

長(zhǎng)方形的面積最大為2400．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】草莓是云南多地盛產(chǎn)的一種水果，今年某水果銷售店在草莓銷售旺季，試銷售成本為每千克元的草莓，規(guī)定試銷期間銷售單價(jià)不低于成本單價(jià)，也不高于每千克元，經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，銷售量（千克）與銷售單價(jià)（元）符合一次函數(shù)關(guān)系，如圖是與的函數(shù)關(guān)系圖象．

求與的函數(shù)解析式（也稱關(guān)系式）；

設(shè)該水果銷售店試銷草莓獲得的利潤(rùn)為元，求的最大值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，已知：AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，CD是⊙O的切線，AD⊥CD于點(diǎn)D.E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CE交⊙O于點(diǎn)F，連結(jié)OC，AC.

(1)求證：AC平分∠DAO；

(2)若∠DAO=105°，∠E=30°.①求∠OCE的度數(shù).②若⊙O的半徑為，求線段EF的長(zhǎng).

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖:在平面直角坐標(biāo)系中,已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,,.

（1）將向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到,請(qǐng)畫出（點(diǎn),,的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為,,）

（2）請(qǐng)畫出與關(guān)于軸對(duì)稱的（點(diǎn),,的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，）

（3）請(qǐng)寫出,的坐標(biāo)

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，已知DE∥BC，AO，DF交于點(diǎn)C．∠EAB=∠BCF．

（1）求證：AB∥DF；

（2）求證：OB2=OEOF；

（3）連接OD，若∠OBC=∠ODC，求證：四邊形ABCD為菱形．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在邊長(zhǎng)為8的正方形ABCD中，點(diǎn)O為AD上一動(dòng)點(diǎn)（4＜OA＜8），以O(shè)為圓心，OA的長(zhǎng)為半徑的圓交邊CD于點(diǎn)M，連接OM，過(guò)點(diǎn)M作⊙O的切線交邊BC于N．

（1）圖中是否存在與△ODM相似的三角形，若存在，請(qǐng)找出并給予證明；

（2）設(shè)DM=x，OA=R，求R關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在動(dòng)點(diǎn)O逐漸向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)（OA逐漸增大）的過(guò)程中，△CMN的周長(zhǎng)如何變化？說(shuō)明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某班甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行了一次用正方形紙片折疊探究相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題的課題學(xué)習(xí)活動(dòng).

活動(dòng)情境：

如圖2，將邊長(zhǎng)為8cm的正方形紙片ABCD沿EG折疊(折痕EG分別與AB、DC交于點(diǎn)E、G)，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn) F處，FN與DC交于點(diǎn)M處，連接BF與EG交于點(diǎn)P．

所得結(jié)論：

當(dāng)點(diǎn)F與AD的中點(diǎn)重合時(shí)：（如圖1）甲、乙、丙三位同學(xué)各得到如下一個(gè)正確結(jié)論（或結(jié)果）：

甲：△AEF的邊AE=____cm，EF=____cm；

乙：△FDM的周長(zhǎng)為16 cm；

丙：EG=BF.

你的任務(wù)：

【1】填充甲同學(xué)所得結(jié)果中的數(shù)據(jù)；

【2】寫出在乙同學(xué)所得結(jié)果的求解過(guò)程；

【3】當(dāng)點(diǎn)F在AD邊上除點(diǎn)A、D外的任何一處（如圖2）時(shí)：

① 試問(wèn)乙同學(xué)的結(jié)果是否發(fā)生變化？請(qǐng)證明你的結(jié)論；

② 丙同學(xué)的結(jié)論還成立嗎？若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由，若你認(rèn)為成立，先證明EG=BF，再求出S（S為四邊形AEGD的面積）與x（AF=x）的函數(shù)關(guān)系式，并問(wèn)當(dāng)x為何值時(shí)，S最大？最大值是多少？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(15,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6,12),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,6), 直線AB交y軸于點(diǎn)D, 動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿著y軸正方向以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng), 同時(shí),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿著射線AB以每秒a個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，

（1）求直線AB的解析式和CD的長(zhǎng).

（2）當(dāng)△PQD與△BDC全等時(shí),求a的值.

（3）記點(diǎn)P關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)為，連結(jié)當(dāng)t=3,時(shí), 求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，E是正方形ABCD邊AB的中點(diǎn)，連接CE，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥CE于F，交AC于G，交AD于H．下列說(shuō)法： ；②點(diǎn)F是GB的中點(diǎn)； ； ，其中正確的結(jié)論的序號(hào)是_____________

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