Question

【題目】如圖1，直線MN//直線PQ，點(diǎn)A、B分別是直線MN、PQ上的兩點(diǎn)．將射線AM繞點(diǎn)A順時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，射線BQ繞點(diǎn)B順時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的射線分別記為AM′、BQ′，已知射線AM、射線BQ旋轉(zhuǎn)的速度之和為7度/秒．

(1)如果射線BQ 先轉(zhuǎn)動(dòng)30°后，射線AM、BQ′再同時(shí)旋轉(zhuǎn)10秒時(shí)，射線AM′與BQ′第一次出現(xiàn)平行．求射線AM、BQ的旋轉(zhuǎn)速度；

(2)若射線AM、BQ分別以（1）中速度同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)t秒，在射線AM′與AN重合之前，求t為何值時(shí)AM′⊥BQ′；

（3）若∠BAN=45°，射線AM、BQ分別以（1）中的速度同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)t秒，在射線AM′與AN重合之前，射線AM′與BQ′交于點(diǎn)H，過點(diǎn)H作HC⊥PQ，垂足為C，如圖2所示，設(shè)∠BAH=α，∠BHC=β，求α和β滿足的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)果．

Answer 1

【答案】(1) 射線AM、BQ的旋轉(zhuǎn)速度分別為5度/秒、2度/秒;(2) 30秒;(3) 當(dāng)時(shí)，45°.

【解析】（1）設(shè)射線AM、BQ的旋轉(zhuǎn)速度分別為x度/秒、y度/秒，根據(jù)速度之和等于7，以及射線AM、BQ的旋轉(zhuǎn)角度相等列方程組求解即可；

（2）根據(jù)AM′與BQ′垂直，可得,求解即可；

（3）根據(jù)題意得，延長AM′與BQ交于M′,易得∠A M′B=45°-α,∠HBC=90°-β,而A M′⊥BQ′，從而求得結(jié)論.

（1）設(shè)射線AM、BQ的旋轉(zhuǎn)速度分別為x度/秒、y度/秒，根據(jù)題意得：

,解得

答：射線AM、BQ的旋轉(zhuǎn)速度分別為5度/秒、2度/秒.

（2）由AM′與BQ′垂直，則,

,

答：30秒時(shí)AM′⊥BQ′

（3）易得，如圖，延長AM′與BQ交于M′,

∵PQ∥MN,

∴∠AM′B=∠N AM′=45°-α,

∵HC⊥PQ,

∴∠HBC=90°-∠BHC=90°-β,

又AM′⊥BQ′,

∴∠HBC+∠AM′B=90°,

∴90°-β+45°-α=90°，即α+β=45°.