如圖,在直角坐標(biāo)平面內(nèi),直線y=-x+5與x軸和y軸分別交于A、B兩點(diǎn),二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B,且頂點(diǎn)為C.

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;

(2)求sin∠OCA的值;

(3)若P是這個(gè)二次函數(shù)圖象上位于x軸下方的一點(diǎn),且△ABP的面積為10,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

 

 

(1)y=x2-6x+5;(2);(3)P(4,-3).

【解析

試題分析:(1)根據(jù)直線方程求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo);然后把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式,通過(guò)方程組來(lái)求系數(shù)b、c的值;

(2)如圖,過(guò)點(diǎn)C作CHx軸交x軸于點(diǎn)H,構(gòu)建等腰AOC.則OAC=OCA,故sinOCA=sinOAC= ;

(3)如圖,過(guò)P點(diǎn)作PQx軸并延長(zhǎng)交直線y=-x+5于Q.設(shè)點(diǎn)P(m,m2-6m+5),Q(m,-m+5),則PQ=-m+5-(m2-6m+5)=-m2+5m.由SABP=SPQB+SPQA得到:10=(?m2+5m)×5,則易求m的值.注意點(diǎn)P位于第四象限.

試題解析:(1)由直線y=-x+5得點(diǎn)B(0,5),A(5,0),

將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=x2+bx+c,得

解得 ,

∴拋物線的解析式為y=x2-6x+5;

(2)如圖,過(guò)點(diǎn)C作CHx軸交x軸于點(diǎn)H.

由(1)知,拋物線的解析式為:y=x2-6x+5,則配方 得y=(x-3)2-4,

點(diǎn)C(3,-4),

CH=4,AH=2,AC=2

∴OC=5.

∵OA=5,

∴OA=OC,

∴∠OAC=∠OCA,

∴sin∠OCA=sin∠OAC=

(3)如圖,過(guò)P點(diǎn)作PQx軸并延長(zhǎng)交直線y=-x+5于Q.

設(shè)點(diǎn)P(m,m2-6m+5),Q(m,-m+5),則PQ=-m+5-(m2-6m+5)=-m2+5m.

SABP=SPQB+SPQA=PQ•OA,

10=(?m2+5m)×5,

m1=1,m2=4,

P(1,0)(舍去),P(4,-3).

考點(diǎn):二次函數(shù)綜合題.

 

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A. B C. D

 

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