Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交線(xiàn)段BC，AC于點(diǎn)D，E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為F，線(xiàn)段FD，AB的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)G．

（1）求證：DF是⊙O的切線(xiàn)；

（2）若CF=1，DF=，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）

【解析】

試題分析：（1）連接AD、OD，由AB為直徑可得出點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，由此得出OD為△BAC的中位線(xiàn)，再根據(jù)中位線(xiàn)的性質(zhì)即可得出OD⊥DF，從而證出DF是⊙O的切線(xiàn)；（2）CF=1，DF=，通過(guò)解直角三角形得出CD=2、∠C=60°，從而得出△ABC為等邊三角形，再利用分割圖形求面積法即可得出陰影部分的面積．

試題解析：（1）證明：連接AD、OD，如圖所示．

∵AB為直徑，

∴∠ADB=90°，

∴AD⊥BC，

∵AC=AB，

∴點(diǎn)D為線(xiàn)段BC的中點(diǎn)．

∵點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，

∴OD為△BAC的中位線(xiàn)，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴OD⊥DF，

∴DF是⊙O的切線(xiàn)．

（2）解：在Rt△CFD中，CF=1，DF=，

∴tan∠C==，CD=2，

∴∠C=60°，

∵AC=AB，

∴△ABC為等邊三角形，

∴AB=4．

∵OD∥AC，

∴∠DOG=∠BAC=60°，

∴DG=ODtan∠DOG=2，

∴S陰影=S△ODG﹣S扇形OBD=DGOD﹣πOB2=2﹣π．