Question

已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2．若以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)．將Rt△OAB沿OB折疊后，點(diǎn)A落在第一象限內(nèi)的點(diǎn)C處．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）若拋物線y=ax²+bx（a≠0）經(jīng)過C、A兩點(diǎn)，求此拋物線的解析式；
（3）若上述拋物線的對稱軸與OB交于點(diǎn)D，點(diǎn)P為線段DB上一動點(diǎn)，過P作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)M，問：是否存在這樣的點(diǎn)P，使得四邊形CDPM為等腰梯形？若存在，請求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）過點(diǎn)C作CH⊥x軸，垂足為H；
∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，
∴OB=4，OA=2；
由折疊的性質(zhì)知：∠COB=30°，OC=AO=2，
∴∠COH=60°，OH=，CH=3；
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（，3）．

（2）∵拋物線y=ax²+bx（a≠0）經(jīng)過C（，3）、A（2，0）兩點(diǎn)，
∴，
解得；
∴此拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：y=-x²+2x．

（3）存在．
∵y=-x²+2x的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，3），
即為點(diǎn)C，MP⊥x軸，垂足為N，設(shè)PN=t；
∵∠BOA=30°，
∴ON=t，
∴P（t，t）；
作PQ⊥CD，垂足為Q，ME⊥CD，垂足為E；
把x=t代入y=-x²+2x，
得y=-3t²+6t，
∴M（t，-3t²+6t），E（，-3t²+6t），
同理：Q（，t），D（，1）；
要使四邊形CDPM為等腰梯形，只需CE=QD，
即3-（-3t²+6t）=t-1，
解得t=，t=1（舍），
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（，），
∴存在滿足條件的P點(diǎn)，使得四邊形CDPM為等腰梯形，此時P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）．
分析：（1）在Rt△AOB中，根據(jù)AB的長和∠BOA的度數(shù)，可求得OA的長，根據(jù)折疊的性質(zhì)即可得到OA=OC，且∠BOC=∠BOA=30°，過C作CD⊥x軸于D，即可根據(jù)∠COD的度數(shù)和OC的長求得CD、OD的值，從而求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（2）將A、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，通過聯(lián)立方程組即可求出待定系數(shù)的值，從而確定該拋物線的解析式．
（3）根據(jù)（2）所得拋物線的解析式可得到其頂點(diǎn)的坐標(biāo)（即C點(diǎn)），設(shè)直線MP與x軸的交點(diǎn)為N，且PN=t，在Rt△OPN中，根據(jù)∠PON的度數(shù)，易得PN、ON的長，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和拋物線的解析式可求得M點(diǎn)的縱坐標(biāo)，過M作ME⊥CD（即拋物線對稱軸）于E，過P作PQ⊥CD于Q，若四邊形CDPM是等腰梯形，那么CE=QD，根據(jù)C、M、P、D四點(diǎn)縱坐標(biāo)，易求得CE、QD的長，聯(lián)立兩式即可求出此時t的值，從而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．
點(diǎn)評：此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變化、解直角三角形、二次函數(shù)解析式的確定、等腰梯形的判定和性質(zhì)等重要知識點(diǎn)，難度較大．