Question

【題目】如圖，△ABC中，點(diǎn)O是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過O作直線MN∥BC．設(shè)MN交∠ACB的平分線于點(diǎn)E，交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F．

（1）求證：OE=OF；

（2）若CE=8，CF=6，求OC的長；

（3）當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形AECF是矩形？

并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）5；（3）當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形．證明見解析.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得出∠1=∠2，∠3=∠4，進(jìn)而得出答案；（2）根據(jù)已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°，進(jìn)而利用勾股定理求出EF的長，即可得出CO的長；（3）根據(jù)平行四邊形的判定以及矩形的判定得出即可．

試題解析：（1）證明：∵MN交∠ACB的平分線于點(diǎn)E，交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F，

∴∠2=∠5，∠4=∠6，

∵MN∥BC，

∴∠1=∠5，∠3=∠6，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∴EO=CO，FO=CO，

∴OE=OF；

（2）∵∠2=∠5，∠4=∠6，

∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，

∵CE=8，CF=6，

∴EF==10，

∴OC=EF=5；

（3）當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形．

證明：當(dāng)O為AC的中點(diǎn)時(shí)，AO=CO，

∵EO=FO，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵∠ECF=90°，

∴平行四邊形AECF是矩形．