【題目】如圖(1),拋物線y=﹣ x2+x+c與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣2,0).

(1)求此拋物線的解析式;
(2)①若點(diǎn)D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點(diǎn),過點(diǎn)D作DE⊥x軸于E,連接CD,以O(shè)E為直徑作⊙M,如圖(2),試求當(dāng)CD與⊙M相切時D點(diǎn)的坐標(biāo);
②點(diǎn)F是x軸上的動點(diǎn),在拋物線上是否存在一點(diǎn)G,使A、C、G、F四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,求出點(diǎn)G的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

解:

由已知有:﹣ (﹣2)2+(﹣2)+c=0,

∴c=3,拋物線的解析式是:y=﹣ x2+x+3


(2)

解:方法一:

①令D(x,y),(x>0,y>0),

則E(x,0),M( ,0),由(1)知C(0,3),

連接MC、MD,

∵DE、CD與⊙O相切,

∴∠OCM=∠MCD,∠CDM=∠EDM,

∴∠CMD=90°,

∴△COM∽△MED,

= ,

= ,

又∵D點(diǎn)在拋物線上,滿足解析式y(tǒng)=﹣ x2+x+3,

∴x= (1± ),

又∵x>0,

∴x= (1+ ),

∴y= (3+ ),則D點(diǎn)的坐標(biāo)是:( (1+ , (3+ )).

②假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)G(a,b).

若構(gòu)成的四邊形是ACGF,(下圖1)則G與C關(guān)于直線x=2對稱,

∴G點(diǎn)的坐標(biāo)是:(4,3);

若構(gòu)成的四邊形是ACFG,(下圖2)則由平行四邊形的性質(zhì)有b=﹣3,

又∵﹣ a2+a+3=﹣3,

∴a=2±2 ,

此時G點(diǎn)的坐標(biāo)是:(2±2 ,﹣3)

方法二:

①連接CM,DM,

∵D為拋物線:y=﹣ x2+x+3上的一點(diǎn),

∴設(shè)D(t,﹣ t2+t+3),

∴E(t,0),

∵M(jìn)為OE中點(diǎn),

∴M( ,0),

∵C(0,3),CD與⊙M相切,

∴∠MDC=∠EDM,∠OCM=∠MCD,

∵DE⊥x軸,

∴∠OCD+∠CDE=180°

∴∠MCD+∠MDC=90°

∴CD⊥DM,

∴KCM×KDM=﹣1,

=﹣1,∴ ,

∴D( , ).

②∵F是x軸上的動點(diǎn),∴設(shè)F(t,0),

∵A(﹣2,0),C(0,3),

,∴ ,

同理: ,

∴﹣ (t+2)2+t+2+3=3,∴ ,

∴﹣ (﹣t﹣2)2﹣t﹣2+3=3,∴

∴﹣ (t﹣2)2+t﹣2+3=﹣3,t﹣2=2±2 ,

綜上所述,滿足題意的點(diǎn)G1(2﹣2 ,﹣3),G2(2+2 ,﹣3)


【解析】(1)把A的坐標(biāo)代入拋物線的解析式,即可得到關(guān)于c的方程,求的c的值,則拋物線的解析式即可求解;(2)①連接MC、MD,證明△COM∽△MED,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可求解;②分四邊形是ACGF和四邊形是ACFG兩種情況進(jìn)行討論,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可求解.
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知增減性:當(dāng)a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減小;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小.

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②點(diǎn)F是x軸上的動點(diǎn),在拋物線上是否存在一點(diǎn)G,使A、C、G、F四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,求出點(diǎn)G的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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