Question

【題目】（題文）如圖所示，二次函數(shù)y=－mx2＋4m的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2)，矩形ABCD的頂點(diǎn)B，C在x軸上，A、D在拋物線上，矩形ABCD在拋物線與x軸所圍成的圖形內(nèi)，且點(diǎn)A在點(diǎn)D的左側(cè)．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x，y)，試求矩形ABCD的周長(zhǎng)p關(guān)于自變量x的函數(shù)解析式，并求出自變量x的取值范圍；

（3）是否存在這樣的矩形ABCD，使它的周長(zhǎng)為9？試證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）（2）p=－x2－4x+4，其中－2＜x＜2（3）不存在

【解析】

試題 （1）由頂點(diǎn)坐標(biāo)（0，2）可直接代入y=﹣mx2+4m，求得m=，即可求得拋物線的解析式；（2）由圖及四邊形ABCD為矩形可知AD∥x軸，長(zhǎng)為2x的據(jù)對(duì)值，AB的長(zhǎng)為A點(diǎn)的總坐標(biāo)，由x與y的關(guān)系，可求得p關(guān)于自變量x的解析式，因?yàn)榫匦?/span>ABCD在拋物線里面，所以x小于0，大于拋物線與x負(fù)半軸的交點(diǎn)；（3）由（2）得到的p關(guān)于x的解析式，可令p=9，求x的方程，看x是否有解，有解則存在，無(wú)解則不存在，顯然不存在這樣的p．

試題解析：

（1）∵二次函數(shù)y=﹣mx2+4m的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），

∴4m=2，

即m=，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+2；

（2）∵A點(diǎn)在x軸的負(fù)方向上坐標(biāo)為（x，y），四邊形ABCD為矩形，BC在x軸上，

∴AD∥x軸，

又∵拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱，

∴D、C點(diǎn)關(guān)于y軸分別與A、B對(duì)稱．

∴AD的長(zhǎng)為2x，AB長(zhǎng)為y，

∴周長(zhǎng)p=2y+4x=2（﹣x2+2）﹣4x=﹣（x+2）2+8．

∵A在拋物線上，且ABCD組成矩形，

∴x＜2，

∵四邊形ABCD為矩形，

∴y＞0，

即x＞﹣2．

∴p=﹣（x+2）2+8，其中﹣2＜x＜2．

（3）不存在，

證明：假設(shè)存在這樣的p，即：

9=﹣（x+2）2+8，

解此方程得：x無(wú)解，所以不存在這樣的p．