【題目】在RtABC中,BAC=90°,D是BC的中點(diǎn),E是AD的中點(diǎn),過點(diǎn)A作AFBC交BE的延長線于點(diǎn)F.

(1)求證:AEF≌△DEB

(2)證明四邊形ADCF是菱形;

(3)若AC=4,AB=5,求菱形ADCF的面積.

【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)10.

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)AAS證AFE≌△DBE;

(2)利用①中全等三角形的對應(yīng)邊相等得到AF=BD.結(jié)合已知條件,利用“有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”得到ADCF是菱形,由“直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半”得到AD=DC,從而得出結(jié)論;

(3)由直角三角形ABC與菱形有相同的高,根據(jù)等積變形求出這個(gè)高,代入菱形面積公式可求出結(jié)論.

(1)證明:①AFBC

∴∠AFE=DBE,

E是AD的中點(diǎn),AD是BC邊上的中線,

AE=DE,BD=CD,

AFEDBE中,

∴△AFE≌△DBE(AAS);

(2)證明:由(1)知,AFE≌△DBE,則AF=DB.

DB=DC,

AF=CD

AFBC

四邊形ADCF是平行四邊形,

∵∠BAC=90°,D是BC的中點(diǎn),E是AD的中點(diǎn),

AD=DC=BC,

四邊形ADCF是菱形;

(3)解:設(shè)菱形DC邊上的高為h,

RTABC斜邊BC邊上的高也為h,

BC==,

DC=BC=

h==,

菱形ADCF的面積為:DCh=×=10.

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