【題目】如圖,已知點A(﹣2,0),B(4,0),C(0,3),以D為頂點的拋物線y=ax2+bx+cA,B,C三點.

(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標;

(2)設(shè)拋物線的對稱軸DE交線段BC于點E,P為第一象限內(nèi)拋物線上一點,過點Px軸的垂線,交線段BC于點F,若四邊形DEFP為平行四邊形,求點P的坐標.

【答案】(1)y=﹣x2+x+3;D(1,);(2)P(3,).

【解析】

(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+2)(x-4),將點C(0,3)代入可求得a的值,將a的值代入可求得拋物線的解析式,配方可得頂點D的坐標;

(2)畫圖,先根據(jù)點BC的坐標確定直線BC的解析式,設(shè)P(m,-m2+m+3),則F(m,-m+3),表示PF的長,根據(jù)四邊形DEFP為平行四邊形,由DE=PF列方程可得m的值,從而得P的坐標.

解:(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+2)(x﹣4),

將點C(0,3)代入得:﹣8a=3,

解得:a=﹣,

y=﹣x2+x+3=﹣(x﹣1)2+,

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x+3,且頂點D(1,);

(2)B(4,0),C(0,3),

BC的解析式為:y=﹣x+3,

D(1,),

x=1時,y=﹣+3=,

E(1,),

DE=-=,

設(shè)P(m,﹣m2+m+3),則F(m,﹣m+3),

∵四邊形DEFP是平行四邊形,且DEFP,

DE=FP,

即(﹣m2+m+3)﹣(﹣m+3)=,

解得:m1=1(舍),m2=3,

P(3,).

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