【題目】在Rt△ABC中,∠BAC=90°,過點B的直線MN∥AC,D為BC邊上一點,連接AD,作DE⊥AD交MN于點E,連接AE.
(1)如圖①,當(dāng)∠ABC=45°時,求證:AD=DE;理由;
(2)如圖②,當(dāng)∠ABC=30°時,線段AD與DE有何數(shù)量關(guān)系?并請說明理由;
(3)當(dāng)∠ABC=α時,請直接寫出線段AD與DE的數(shù)量關(guān)系.(用含α的三角函數(shù)表示)
【答案】(1)證明見解析;(2)DE=AD, 理由見解析;(3)AD=DEtanα,理由見解析.
【解析】
試題(1)過點D作DF⊥BC,交AB于點F,得出∠BDE=∠ADF,∠EBD=∠AFD,即可得到△BDE≌△FDA,從而得到AD=DE;
(2)過點D作DG⊥BC,交AB于點G,進而得出∠EBD=∠AGD,證出△BDE∽△GDA即可得出答案;
(3)過點D作DG⊥BC,交AB于點G,進而得出∠EBD=∠AGD,證出△BDE∽△GDA即可得出答案.
試題解析:(1)如圖1,過點D作DF⊥BC,交AB于點F,則∠BDE+∠FDE=90°,∵DE⊥AD,∴∠FDE+∠ADF=90°,∴∠BDE=∠ADF,∵∠BAC=90°,∠ABC=45°,∴∠C=45°,∵MN∥AC,∴∠EBD=180°﹣∠C=135°,∵∠BFD=45°,DF⊥BC,∴∠BFD=45°,BD=DF,∴∠AFD=135°,∴∠EBD=∠AFD,在△BDE和△FDA中,∵∠EBD=∠AFD,BD=DF,∠BDF=∠ADF,∴△BDE≌△FDA(ASA),∴AD=DE;
(2)DE=AD,理由:
如圖2,過點D作DG⊥BC,交AB于點G,則∠BDE+∠GDE=90°,∵DE⊥AD,∴∠GDE+∠ADG=90°,∴∠BDE=∠ADG,∵∠BAC=90°,∠ABC=30°,∴∠C=60°,∵MN∥AC,∴∠EBD=180°﹣∠C=120°,∵∠ABC=30°,DG⊥BC,∴∠BGD=60°,∴∠AGD=120°,∴∠EBD=∠AGD,∴△BDE∽△GDA,∴,在Rt△BDG中,=tan30°=,∴DE=AD;
(3)AD=DEtanα;理由:
如圖2,∠BDE+∠GDE=90°,∵DE⊥AD,∴∠GDE+∠ADG=90°,∴∠BDE=∠ADG,∵∠EBD=90°+α,∠AGD=90°+α,∴∠EBD=∠AGD,∴△EBD∽△AGD,∴,在Rt△BDG中,=tanα,則=tanα,∴AD=DEtanα.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線與坐標(biāo)軸分別交于、兩點,拋物線過、兩點,點為線段上一動點,過點作軸于點,交拋物線于點.
求拋物線的解析式.
求面積的最大值.
連接,是否存在點,使得和相似?若存在,求出點坐標(biāo);若不存在,說明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某超市計劃購進一批甲、乙兩種玩具,已知件甲種玩具的進價與件乙種玩具的進價的和為元,件甲種玩具的進價與件乙種玩具的進價的和為元.
(1)求每件甲種、乙種玩具的進價分別是多少元;
(2)如果購進甲種玩具有優(yōu)惠,優(yōu)惠方法是:購進甲種玩具超過件,超出部分可以享受折優(yōu)惠,若購進件甲種玩具需要花費元,請你寫出與的函數(shù)表達式.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將兩塊全等的三角板如圖1擺放,其中∠A1CB1=∠ACB=90°,∠A1=∠A=30°.
(1)將圖1中△A1B1C繞點C順時針旋轉(zhuǎn)45°得圖2,點P1是A1C與AB的交點,點Q是A1B1與BC的交點,求證:CP1=CQ;
(2)在圖2中,若AP1=a,則CQ等于多少?
(3)將圖2中△A1B1C繞點C順時針旋轉(zhuǎn)到△A2B2C(如圖3),點P2是A2C與AP1的交點.當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為多少度時,有△AP1C∽△CP1P2?這時線段CP1與P1P2之間存在一個怎樣的數(shù)量關(guān)系?.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,等邊△ABC中,AD是∠BAC的角平分線,E為AD上一點,以BE為一邊且在BE下方作等邊△BEF,連接CF.
(1)求證:AE=CF;
(2)求∠ACF的度數(shù).
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩人兩次同時在同一家超市采購貨物(假設(shè)兩次采購貨物的單價不相同),甲每次采購貨物100千克,乙每次采購貨物用去100元.
(1)假設(shè)a、b分別表示兩次采購貨物時的單價(單位:元/千克),試用含a、b的式子表示:甲兩次采購貨物共需付款 元,乙兩次共購買 千克貨物.
(2)請你判斷甲、乙兩人采購貨物的方式哪一個的平均單價低,并說明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,點A、點B分別是y軸、x軸上的兩個動點,點C在第三象限,直角邊AC交x軸于點D,斜邊BC交y軸于點E.
(1)若A(0,1),B(2,0),畫出圖形并求C點的坐標(biāo);
(2)若點D恰為AC中點時,連接DE,畫出圖形,判斷∠ADB和∠CDE大小關(guān)系,說明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)的圖像與軸交于點,與軸交于點,且經(jīng)過點.
(1)當(dāng)時;
①求一次函數(shù)的表達式;
②平分交軸于點,求點的坐標(biāo);
(2)若△為等腰三角形,求的值;
(3)若直線也經(jīng)過點,且,求的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】用一條24cm的細繩圍成一個等腰三角形。
(1)如果腰長是底邊的2倍,那么各邊的長是多少?
(2)能圍成有一邊長為4cm的等腰三角形嗎?為什么?
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com