Question

求證：如果a，b是互質(zhì)的正整數(shù)，c是整數(shù)，且方程ax+by=c ①，有一組整數(shù)解x₀，y₀，則此方程的一切整數(shù)解可以表示為，其中t=0，±1，±2，±3，…．

Answer 1

證明：因?yàn)閤₀，y₀是方程①的整數(shù)解，當(dāng)然滿足ax₀+by₀=c，②
因此a（x₀-bt）+b（y₀+at）=ax₀+by₀=c．
這表明x=x₀-bt，y=y₀+at也是方程①的解．
設(shè)x′，y′是方程①的任一整數(shù)解，則有
ax′+by′=c．③
③-②得
a（x′-x₀）=b′（y₀-y′）．④
∵a，b是互質(zhì)的正整數(shù)即（a，b）=1，
∴即y′=y₀+at，其中t是整數(shù)．將y′=y₀+at代入④，即得x′=x₀-bt．
∴x′，y′可以表示成x=x₀-bt，y=y₀+at的形式，
∴x=x₀-bt，y=y₀+at表示方程①的一切整數(shù)解．
分析：把x₀，y₀代入原方程中可得到一個(gè)方程，設(shè)方程的任一組解可得到第二個(gè)方程，聯(lián)立兩個(gè)方程求解，再根據(jù)a，b是互質(zhì)的正整數(shù)，c是整數(shù)，即可得到原方程解的表示形式，即可證明結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二元一次方程的解和二元一次方程組的解．當(dāng)沒(méi)有條件限制時(shí)，二元一次方程的解有無(wú)數(shù)個(gè)．求不定方程的整數(shù)解，先將方程做適當(dāng)變形，確定其中一個(gè)未知數(shù)的取值范圍，然后列舉出適合條件的所有整數(shù)值，再求出另一個(gè)未知數(shù)的值．