Question

【題目】如圖，在正方形中，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），將沿著翻折得到，

（1）如圖1，當(dāng)，求長(zhǎng)；

（2）如圖2，為線段上的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)由到的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段掃過(guò)的圖形與重疊部分的面積；

（3）如圖3，在上，連接，將沿著翻折得到，連結(jié)，問(wèn)是否存在點(diǎn)，使得與相似？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）重疊部分的面積是；（3）存在，．

【解析】

（1）連接，根據(jù)折疊的性質(zhì)證是等邊三角形即可求解；

（2）因?yàn)?/span>在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中始終都等于DA，即點(diǎn)到D點(diǎn)的距離是定值，故在點(diǎn)由到的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，掃過(guò)的圖形是以D為圓心，以DA為半徑的扇形，由此確定掃過(guò)的圖形與重合部分是弓形，△（恰好在CF上時(shí)）是等邊三角形，根據(jù)扇形及三角形的面積公式求解即可；

（3）先根據(jù)與相似，判定是直角三角形，分時(shí)、時(shí)兩種情況討論求解即可．

（1）如圖，連接，

根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：

是等邊三角形

（2）如圖，

∵四邊形ABCD是正方形

∴∠BCD=90°，CD=AD=AB=2

∵

∴∠FCD=60°

在點(diǎn)由到的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，掃過(guò)的圖形是扇形，

當(dāng)與B重合時(shí)，點(diǎn)與重合，

∴掃過(guò)的圖形與重合部分是弓形，

當(dāng)運(yùn)動(dòng)到如圖位置時(shí)（恰好在CF上時(shí)），=DC

∴△是等邊三角形，這時(shí)

過(guò)DE⊥CF于E點(diǎn)

重疊部分的面積是：

（3） 如圖，

與關(guān)于對(duì)稱

又

由折疊可知，

若與相似，則必是直角三角形

①當(dāng)時(shí)

②當(dāng)時(shí)，此時(shí)落在上，

過(guò)作，

在中，

又在上

與矛盾

綜上所述