精英家教網(wǎng)某研究性學習小組在探究矩形的折紙問題時，將一塊直角三角板的直角頂點繞著矩形ABCD的對角線交點O旋轉(zhuǎn)（如圖所示）．已知AB=8，BC=10，圖中M、N分別為直角三角板的直角邊與矩形ABCD的邊CD、BC的交點．問：是否存在某一旋轉(zhuǎn)位置，使得CM+CN等于
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？若存在，請求出此時DM的長；若不存在，請說明理由．
分析：延長NO交AD于點P，連接MN、MP．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OM是PN的中垂線，在Rt△MDP和在Rt△MCN中，利用勾股定理，即可得到BN2+DM2=CN2+CM2，DM=x，CN=y，即可得到x，y的關(guān)系式，從而求解．
解答：精英家教網(wǎng)解：延長NO交AD于點P，連接MN、MP．
由“O為矩形ABCD的對角線交點”，通過全等或旋轉(zhuǎn)對稱可得BN=DP，OP=ON．（1分）
∴OM垂直平分PN．∴MP=MN．（2分）
在Rt△MDP中，MP2=DP2+DM2，
在Rt△MCN中，MN2=CN2+CM2，（3分）
又∵MP=MN，BN=DP，
∴BN2+DM2=CN2+CM2．（4分）
若設(shè)DM=x，CN=y，則CM=8-x，BN=10-y．
∴（10-y）2+x2=y2+（8-x）2．化簡得y=
4
5
x+
9
5
．（6分）
∴CM+CN=8-x+y=8-x+
4
5
x+
9
5
=
49
5
-
1
5
x．（7分）
由題意得
49
5
-
1
5
x=
44
5
，（8分）
解得x=5．
∴當DM=5時，CM+CN等于
44
5
．（9分）
點評：本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及圖形的旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理證得BN2+DM2=CN2+CM2是解題的關(guān)鍵．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

24、某研究性學習小組在探究矩形的折紙問題時，將一塊直角三角板的直角頂點繞矩形ABCD（AB＜BC）的對角線的交點O旋轉(zhuǎn)（①?②?③），圖中的M、N分別為直角三角形的直角邊與矩形ABCD的邊CD、BC的交點．
（1）該學習小組成員意外的發(fā)現(xiàn)圖①（三角板一直角邊與OD重合）中，BN2=CD2+CN2，在圖③中（三角板一邊與OC重合），CN2=BN2+CD2，請你對這名成員在圖①和圖③中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論選擇其一說明理由．

（2）試探究圖②中BN、CN、CM、DN這四條線段之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由．
（3）將矩形ABCD改為邊長為1的正方形ABCD，直角三角板的直角頂點繞O點旋轉(zhuǎn)到圖④，兩直角邊與AB、BC分別交于M、N，直接寫出BN、CN、CM、DM這四條線段之間所滿足的數(shù)量關(guān)系．（不需要證明）

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

某研究性學習小組在探究矩形的折紙問題時，將一塊直角三角板的直角頂點繞著矩形ABCD（AB＜BC）的對角線交點O旋轉(zhuǎn)（如圖①→②→③），圖中M、N分別為直角三角板的直角邊與矩形ABCD的邊CD、BC的交點．

（1）該學習小組中一名成員意外地發(fā)現(xiàn)：在圖①（三角板的一直角邊與OD重合）中，BN2=CD2+CN2；在圖③（三角板的一直角邊與OC重合）中，CN2=BN2+CD2．請你對這名成員在圖①和圖③中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論選擇其一說明理由．
（2）試探究圖②中BN、CN、CM、DM這四條線段之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

某研究性學習小組在探究矩形的折紙問題時，將一塊直角三角板的直角頂點繞著矩形ABCD（DC＜BC）的對角線交點O旋轉(zhuǎn)（如圖①→②），圖中M、N分別為直角三角板的直角邊與三角形DBC的邊CD、BC的交點．
（1）在圖①（三角板的一直角邊與OD重合）中，有CN2+DC2=BN2成立，請說明理由．
（2）試探究圖②中BN、CN、CM、DM這四條線段之間的數(shù)量關(guān)系，請你用一個等式在橫線上直接表示出探究的結(jié)論：
CN2+CM2=DM2+BN2
CN2+CM2=DM2+BN2
．證明你的結(jié)論．

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科目：初中數(shù)學 來源：2011-2012學年山東威海市八年級下期末模擬數(shù)學試卷（三）（帶解析） 題型：解答題

某研究性學習小組在探究矩形的折紙問題時，將一塊直角三角板的直角頂點繞矩形ABCD（AB＜BC）的對角線的交點O旋轉(zhuǎn)（①→②→③），圖中的M、N分別為直角三角形的直角邊與矩形ABCD的邊CD、BC的交點。
⑴該學習小組成員意外的發(fā)現(xiàn)圖①（三角板一直角邊與OD重合）中，BN2=CD2+CN2，在圖③中（三角板一邊與OC重合），CN2=BN2+CD2，請你對這名成員在圖①和圖③中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論選擇其一說明理由。

⑵試探究圖②中BN、CN、CM、DN這四條線段之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由。

⑶將矩形ABCD改為邊長為1的正方形ABCD，直角三角板的直角頂點繞O點旋轉(zhuǎn)到圖④，兩直角邊與AB、BC分別交于M、N，直接寫出BN、CN、CM、DM這四條線段之 間所滿足的數(shù)量關(guān)系（不需要證明）

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