【題目】某校初二數(shù)學興趣小組活動時，碰到這樣一道題：

“已知正方形，點分別在邊上，若，則”．

經(jīng)過思考，大家給出了以下兩個方案：

（甲）過點作交于點，過點作交于點；

（乙）過點作交于點，作交的延長線于點；同學們順利地解決了該題后，大家琢磨著想改變問題的條件，作更多的探索．

（1）對小杰遇到的問題，請在甲、乙兩個方案中任選一個，加以證明（如圖1）；

圖1 圖2

（2）如果把條件中的“”改為“與的夾角為”，并假設正方形的邊長為l，的長為（如圖2），試求的長度．

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】

（1）選乙，過點作交于點，作交的延長線于點，通過證△AMB≌△ADN來得出結(jié)論；

（2）按（1）的思路也要通過構(gòu)建全等三角形來求解，可過點A作AM∥HF交BC于點M，過點A作AN∥EG交CD于點N，將△AND繞點A旋轉(zhuǎn)到△APB，不難得出△APM和△ANM全等，那么可得出PM＝MN，而MB的長可在直角三角形ABM中根據(jù)AB和AM（即HF的長）求出．如果設DN＝x，那么NM＝PM＝BM＋x，MC＝BCBM＝1BM，因此可在直角三角形MNC中用勾股定理求出DN的長，進而可在直角三角形AND中求出AN即EG的長．

（1）證明：過點作交于點，作交的延長線于點

∴，，

∵正方形

∴，，

∵

∴

∴

在和中，

∴

∴即.

（2）解：過點作交于點，過點作交于點，

∵，，

∴在中，，

將繞點旋轉(zhuǎn)到，

∵與的夾角為

∴

∴，即

從而

∴

設，則，，

在中，，

解得：

∴.

練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，點B（a，b）在第一象限，過B作BA⊥y軸于A，過B作BC⊥x軸于C，且實數(shù)a、b滿足（a-b-2）2+|2a+b-10|≤0，含45角的Rt△DEF的一條直角邊DF與x軸重合，DE⊥x軸于D，點F與坐標原點重合，DE=DF=3．△DEF從某時刻開始沿著坐標軸以1個單位長度每秒的速度勻速運動，運動時間為t秒．

（1）求點B的坐標；

（2）若△DEF沿著y軸負方向運動，連接AE，EG平分∠AEF，EH平分∠AED，當EG∥DF時，求∠HEF的度數(shù)；

（3）若△DEF沿著x軸正方向運動，在運動過程中，記△AEF與長方形OABC重疊部分的面積為S，當0＜t≤4，S=時，請你求出運動時間t．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，平面直角坐標系中，、，且、滿足

(1)求、兩點的坐標；

(2)過點的直線上有一點，連接、， ，如圖2，當點在第二象限時，交軸于點，延長交軸于點，設的長為，的長為，用含的式子表示；

(3)在(2)的條件下，如圖3，當點在第一象限時，過點作交于點，連接，若，，求的長．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，F、G是AD邊上的兩個點，且FC平分∠BCD，GB平分∠ABC，F(xiàn)C與GB交于點E．

①AB=AG；②連接BF、CG，則四邊形BFGC為等腰梯形；③AF=DG；④△ABG∽△DCF．

以上四個結(jié)論中一定成立的有（　�。﹤�．

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知平行四邊形ABCD．

（1）用直尺和圓規(guī)作出么ABC的平分線BE，交AD的延長線于點E，交DC于點F（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）求證：△ABE是等腰三角形；

（3）在（1）中所得圖形中，除△ABE外，請你寫出其他的等腰三角形．（不要求證明）

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】市政公司為綠化建設路風景帶，計劃購買甲乙兩種樹苗600株，甲種樹苗每株50元，乙種樹苗每株70元．有關統(tǒng)計表明，甲乙兩種樹苗的成活率分別為80%和95%．（注：成活率=×100%）．

（1）若購買樹苗的錢不超過40000元，應如何選購甲、乙兩種樹苗；

（2）若希望這批樹苗的成活率不低于90%，且購買樹苗的費用最低，應如何選購甲、乙兩種樹苗并求出最低費用是多少元．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了解外來務工子女就學情況，某校對七年級各班級外來務工子女的人數(shù)情況進行了統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)各班級中外來務工子女的人數(shù)有1名、2名、3名、4名、5名、6名共六種情況，并制成如下兩幅統(tǒng)計圖：

(1)求該校七年級平均每個班級有多少名外來務工子女?并將該條形統(tǒng)計圖補充完整；

(2)學校決定從只有2名外來務工子女的這些班級中，任選兩名進行生活資助，請用列表法或畫樹狀圖的方法，求出所選兩名外來務工子女來自同一個班級的概率．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，正方形網(wǎng)格中，△ABC為格點三角形（即三角形的頂點都在格點上）．

（1）把△ABC沿BA方向平移后，點A移到點A1，在網(wǎng)格中畫出平移后得到的△A1B1C1；

（2）把△A1B1C1繞點A1按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，在網(wǎng)格中畫出旋轉(zhuǎn)后的△A1B2C2；

（3）如果網(wǎng)格中小正方形的邊長為1，求點B經(jīng)過（1）、（2）變換的路徑總長．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知二次函數(shù)y=x2+mx+n的圖象經(jīng)過點P(-3,1),對稱軸是經(jīng)過點(-1,0)且平行于y軸的直線.

(1)求m,n的值;

(2)如圖,一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點P,與x軸相交于點A,與二次函數(shù)的圖象相交于另一點B,點B在點P的右側(cè),PA∶PB=1∶5,求一次函數(shù)的表達式.

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