【題目】如圖1,等邊△ABC中,點(diǎn)D、E分別在BC、AC上,BD=CE,連AD、BE.
(1)求證:△CAD≌△ABE;
(2)如圖2,延長(zhǎng)FE至點(diǎn)G,使得FG=FA,連AG,試判斷△AFG的形狀,并說明理由;
(3)在(2)的條件下,連CF,若CF⊥AD,求證:CF⊥CG.
【答案】(1)見解析;(2)見解析.
【解析】
(1)由等邊三角形的性質(zhì)可得:∠BAC=∠ACD=60°,AB=AC=BC,再結(jié)合已知得出CD=AE,最后運(yùn)用SAS即可證明;
(2)由(1)△CAD≌△ABE,可得∠CAD=∠ABE,進(jìn)而得出∠AFE=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°,即可說明其為等邊三角形;
(3)由(2)知△AFG是等邊三角形,進(jìn)一步說明∠BAF=∠CAG,運(yùn)用(SAS)判定△ABF≌△ACG,得出∠CGF=∠AGC-∠AGF=60°=∠AFG,則AD∥CG,即可得出結(jié)論
解:(1)∵△ABC是等邊三角形,
∴∠BAC=∠ACD=60°,AB=AC=BC,
∵BD=CE,
∴CD=AE,
在△CAD和△ABE中,,
∴△CAD≌△ABE(SAS);
(2)由(1)知,△CAD≌△ABE,
∴∠CAD=∠ABE,
∴∠AFE=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°,
∵FG=FA,
∴△AFG是等邊三角形;
(3)由(2)知,△AFG是等邊三角形,
∴AF=AG,∠AFE=∠AGF=∠FAG=60°=∠BAC,
∴∠BAF=∠CAG,
在△ABF和△ACG中,,
∴△ABF≌△ACG(SAS),
∴∠AGC=∠AFB=180°-∠AFG=60°,
∴∠CGF=∠AGC-∠AGF=60°=∠AFG,
∴CG∥AD,
∵CF⊥AD,
∴CF⊥CG.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC+∠EAD=180°,△ABC不動(dòng),△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),連接BE,CD,F(xiàn)為BE的中點(diǎn),連接AF.
(1)如圖①,當(dāng)∠BAE=90°時(shí),求證:CD=2AF;
(2)當(dāng)∠BAE≠90°時(shí),(1)的結(jié)論是否成立?請(qǐng)結(jié)合圖②說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,直線AB∥DC,點(diǎn)P為平面上一點(diǎn),連接AP與CP.
(1)如圖1,點(diǎn)P在直線AB、CD之間,當(dāng)∠BAP=60°,∠DCP=20°時(shí),求∠APC.
(2)如圖2,點(diǎn)P在直線AB、CD之間,∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點(diǎn)K,寫出∠AKC與∠APC之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
(3)如圖3,點(diǎn)P落在CD外,∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點(diǎn)K,∠AKC與∠APC有何數(shù)量關(guān)系?并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將直角三角形ABC沿斜邊BC所在直線向右平移一定的長(zhǎng)度得到三角形DEF,DE交AC于G,連接AE和AD.有下列結(jié)論:①AC∥DF;②AD∥BE,AD=BE;③∠B=∠DEF;④ED⊥AC.其中正確的結(jié)論有( )
A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】市實(shí)驗(yàn)中學(xué)學(xué)生會(huì)準(zhǔn)備調(diào)查七年級(jí)學(xué)生參加“球類”“書畫類”“棋牌類:”“器樂類”四類校本課程的人數(shù).
(1)確定調(diào)查方式時(shí),甲同學(xué)說:“我到七年級(jí)(1)班去調(diào)查全體同學(xué)”;乙同學(xué)說:“放學(xué)時(shí),我到校門口隨機(jī)調(diào)查部分同學(xué)”;丙同學(xué)說:“我到七年級(jí)每個(gè)班隨機(jī)調(diào)查一定數(shù)量的同學(xué)”.這三位同學(xué)的調(diào)查方式中,最合理的是______(填“甲”“乙”或“丙”)同學(xué)的調(diào)查方式.
(2)他們采用了最為合理的調(diào)查方法收集數(shù)據(jù),并繪制了如圖所示的統(tǒng)計(jì)表和扇形統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)你根據(jù)圖表提供的信息解答下列問題:
①a=________,b=________;
②在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,器樂類所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)是________;
③若該校七年級(jí)有學(xué)生660人,請(qǐng)你估計(jì)大約有多少學(xué)生參加球類校本課程?
類別 | 頻數(shù)(人數(shù)) | 百分比 |
球類 | 25 | |
書畫類 | 20 | 20% |
棋牌類 | 15 | b |
器樂類 | ||
合計(jì) | a | 100% |
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D、E、F分別在BC、AB、AC邊上,且BE=CF, BD=CE.
(1)求證:△DEF是等腰三角形;
(2)當(dāng)∠A=40°時(shí),求∠DEF的度數(shù);
(3)△DEF可能是等腰直角三角形嗎?為什么?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】今年起,蘭州市將體育考試正式納入中考考查科目之一,其等級(jí)作為考生錄取的重要依據(jù)之一.某中學(xué)為了了解學(xué)生體育活動(dòng)情況,隨機(jī)調(diào)查了720名初二學(xué)生.調(diào)查內(nèi)容是:“每天鍛煉是否超過1小時(shí)及未超過1小時(shí)的原因”,利用所得的數(shù)據(jù)制成了扇形統(tǒng)計(jì)圖和頻數(shù)分布直方圖.根據(jù)圖示,解答下列問題:
(1)若在被調(diào)查的學(xué)生中隨機(jī)選出一名學(xué)生測(cè)試其體育成績(jī),選出的是“每天鍛煉超過1小時(shí)”的學(xué)生的概率是多少?
(2)“沒時(shí)間”鍛煉的人數(shù)是多少?并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(3)2011年蘭州市區(qū)初二學(xué)生約為2.4萬人,按此調(diào)查,可以估計(jì)2011年蘭州市區(qū)初二學(xué)生中每天鍛煉未超過1小時(shí)的學(xué)生約有多少萬人?
(4)請(qǐng)根據(jù)以上結(jié)論談?wù)勀愕目捶?/span>.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),以CD為直徑作⊙O,⊙O分別與AC,BC交于點(diǎn)E,F(xiàn),過點(diǎn)F作⊙O的切線FG,交AB于點(diǎn)G,則FG的長(zhǎng)為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,,,是等邊三角形,點(diǎn)在邊上.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí),與有什么數(shù)量關(guān)系,請(qǐng)說明你的理由;
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部時(shí),猜想和數(shù)量關(guān)系,并加以證明;
(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)在外部時(shí),于點(diǎn),過點(diǎn)作,交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn),,.求的長(zhǎng).
(溫馨提示:直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半,即在中,,若點(diǎn)為斜邊中點(diǎn),則)
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