Question

【題目】如圖，已知已知拋物線 與x軸交于點(diǎn) 和點(diǎn) ，與y軸交于點(diǎn)C，且 .

（1）求此拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)E為第二象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE，CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，若線段PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′恰好也落在此拋物線上，求點(diǎn)P的坐標(biāo).
（4）連AC，H是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)H作AC的平行線交x軸于點(diǎn)F，是否這樣的點(diǎn)F，使得以A,C,H,F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（-3，0），

∴OB=3，

∵OC=OB，

∴OC=3，

∴c=3，C（0，3），

將A（1，0）、B（-3，0）代入y=ax2+bx+3中，

得： ，解得： ．

∴所求拋物線解析式為：y=-x2-2x+3．

（2）

解：如圖1，過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，

設(shè)E（m，-m2-2m+3）（-3＜m＜0），

∴EF=-m2-2m+3，BF=m+3，OF=-m，

∴S四邊形BOCE= BFEF+ （OC+EF）OF

= （m+3）（-m2-2m+3）+ （-m2-2m+3+3）（-a）

=- m2- m+

=- (m+ )2+ ．

∵a=- ＜0，

∴當(dāng)m=- 時(shí)，S四邊形BOCE最大，且最大值為 ，

此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（- ， ）．

（3）

解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，n），過A1作A1N⊥對(duì)稱軸于N，設(shè)對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)M．

①當(dāng)n＞0時(shí)，∵∠NP1A1+∠MP1A=∠NA1P1+∠NP1A1=90°，

∴∠NA1P1=∠MP1A，

在△A1NP1與△P1MA中， ，

∴△A1NP1≌△P1MA（AAS），

∴A1N=P1M=n，P1N=AM=2，

∴A1（n-1，n+2），

將A1（n-1，n+2）代入y=-x2-2x+3得：n+2=-（x-1）2-2（n-1）+3，

解得：n=1，n=-2（舍去），

此時(shí)P1（-1，1）；

②當(dāng)n＜0時(shí)，要使P2A=P2A2，由圖可知A2點(diǎn)與B點(diǎn)重合，

∵∠AP2A2=90°，

∴MP2=MA=2，

∴P2（-1，-2），

∴滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（-1，1）或（-1，-2）．

（4）

假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（t，0），

以A，C，H，F(xiàn)為頂點(diǎn)的平行四邊形分兩種情況（如圖3）：

①當(dāng)點(diǎn)H在x軸上方時(shí)，

∵A（1，0），C（0，3），F(xiàn)（t，0），

∴H（t-1，3），

∵點(diǎn)H在拋物線y=-x2-2x+3上，

∴3=-（t-1）2-2（t-1）+3，

解得：t1=-1，t2=1（舍去），

此時(shí)F（-1，0）；

②當(dāng)點(diǎn)H在x軸下方時(shí)，

∵A（1，0），C（0，3），F(xiàn)（t，0），

∴H（t+1，-3），

∵點(diǎn)H在拋物線y=-x2-2x+3上，

∴-3=-1（t+1）2-2（t+1）+3，

解得：t3=-2- ，t4=-2+ ，

此時(shí)F（-2- ，0）或（-2+ ，0）．

綜上可知：存在這樣的點(diǎn)F，使得以A，C，H，F(xiàn)為頂點(diǎn)所組成的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-1，0）、（-2- ，0）或（-2+ ，0）．

【解析】（1）由點(diǎn)B的坐標(biāo)可知OB的長(zhǎng)，根據(jù)OC=OB，即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)以及c，再根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)解析式；（2）過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，設(shè)E（m，-m2-2m+3）（-3＜m＜0），結(jié)合B、O、C點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出BF、OF、OC、EF的長(zhǎng)，利用分割圖形求面積法即可找出S四邊形BOCE關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，利用配方法以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題；（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，n），過A1作A1N⊥對(duì)稱軸于N，設(shè)對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)M．分n＞0和n＜0考慮：①當(dāng)n＞0時(shí)，利用相等的邊角關(guān)系即可證出△A1NP1≌△P1MA（AAS），由此即可得出點(diǎn)A1的坐標(biāo)，將其代入二次函數(shù)解析式中即可求出n值，由此即可得出點(diǎn)P1的坐標(biāo)；②當(dāng)n＜0時(shí)，結(jié)合圖形找出點(diǎn)A2的位置，由此即可得出點(diǎn)P2的坐標(biāo)．綜上即可得出結(jié)論；（4）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（t，0），分點(diǎn)H在x軸上方和下方兩種情況考慮，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合A、C、F點(diǎn)的坐標(biāo)即可表示出點(diǎn)H的坐標(biāo)，將其代入二次函數(shù)解析式中即可求出t值，從而得出點(diǎn)F的坐標(biāo)．
本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題；（3）分點(diǎn)P的縱坐標(biāo)大于0和小于0兩種情況考慮；（4）分點(diǎn)H在x軸上方和下方考慮．本題屬于中檔題，（3）（4）難度不小，解決該題型題目時(shí)，分類討論是解題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)，需要了解增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小；平行四邊形的對(duì)邊相等且平行；平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)；平行四邊形的對(duì)角線互相平分才能得出正確答案．