【題目】已知直線mn,點C是直線m上一點,點D是直線n上一點,CD與直線m、n不垂直,點P為線段CD的中點.

(1)操作發(fā)現(xiàn):直線lm,ln,垂足分別為AB,當點A與點C重合時(如圖①所示),連接PB,請直接寫出線段PAPB的數(shù)量關(guān)系:   

(2)猜想證明:在圖①的情況下,把直線l向上平移到如圖②的位置,試問(1)中的PAPB的關(guān)系式是否仍然成立?若成立,請證明;若不成立,請說明理由.

(3)延伸探究:在圖②的情況下,把直線l繞點A旋轉(zhuǎn),使得∠APB=90°(如圖③所示),若兩平行線m、n之間的距離為2k.求證:PAPB=kAB

【答案】PA=PB;成立;PA=PB

【解析】試題分析:(1)根據(jù)三角形CBD是直角三角形,而且點P為線段CD的中點,應(yīng)用直角三角形的性質(zhì),可得PA=PB,據(jù)此解答即可.(2)首先過CCE⊥n于點E,連接PE,然后分別判斷出PC=PE∠PCA=∠PEB、AC=BE;然后根據(jù)全等三角形判定的方法,判斷出△PAC∽△PBE,即可判斷出PA=PB仍然成立.(3)首先延長AP交直線n于點F,作AE⊥BD于點E,然后根據(jù)相似三角形判定的方法,判斷出△AEF∽△BPF,即可判斷出AFBP=AEBF,再個AF=2PAAE=2k,BF=AB,可得2PAPB=2kAB,所以PAPB=kAB,據(jù)此解答即可

試題解析:(1∵l⊥n∴BC⊥BD, 三角形CBD是直角三角形, 又P為線段CD的中點,

∴PA=PB

把直線l向上平移到如圖的位置,PA=PB仍然成立,理由如下:

如圖,過CCE⊥n于點E,連接PE,

,

三角形CED是直角三角形,點P為線段CD的中點, ∴PD=PE, 又P為線段CD的中點,

∴PC=PD, ∴PC=PE; ∵PD=PE, ∴∠CDE=∠PEB, 直線m∥n, ∴∠CDE=∠PCA,

∴∠PCA=∠PEB, 又直線l⊥m,l⊥nCE⊥m,CE⊥n, ∴l(xiāng)∥CE, ∴AC=BE,

△PAC△PBE中,∴△PAC∽△PBE, ∴PA=PB

3)如圖,延長AP交直線n于點F,作AE⊥BD于點E

,

直線m∥n, , ∴AP=PF, ∵∠APB=90°, ∴BP⊥AF, 又∵AP=PF, ∴BF=AB;

△AEF△BPF中,∴△AEF∽△BPF, ∴AFBP=AEBF,

∵AF=2PA,AE=2kBF=AB, ∴2PAPB=2kAB∴PAPB=kAB∴PA=PB

練習冊系列答案
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價格(萬元/臺)

處理污水量(噸/月)

)求,的值.

)經(jīng)預(yù)算:市治污公司購買污水處理設(shè)備的資金不超過萬元,你認為該公司有哪幾種購買方案.

)在()問的條件下,若每月要求處理該湖的污水量不低于噸,為了節(jié)約資金,請你為治污公司設(shè)計一種最省錢的購買方案.

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(2)直接寫出D,E,F(xiàn)三點的坐標:D(),E(),F(xiàn)();
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