Question

【題目】問題背景
已知在△ABC中，AB邊上的動(dòng)點(diǎn)D由A向B運(yùn)動(dòng)（與A，B不重合），點(diǎn)E與點(diǎn)D同時(shí)出發(fā)，由點(diǎn)C沿BC的延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)（E不與C重合），連接DE交AC于點(diǎn)F，點(diǎn)H是線段AF上一點(diǎn)．

（1）初步嘗試
如圖1，若△ABC是等邊三角形，DH⊥AC，且點(diǎn)D，E的運(yùn)動(dòng)速度相等．
求證：HF=AH+CF．
小五同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以由以下兩種思路解決此問題：
思路一：過點(diǎn)D作DG∥BC，交AC于點(diǎn)G，先證GH=AH，再證GF=CF，從而證得結(jié)論成立；
思路二：過點(diǎn)E作EM⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，先證CM=AH，再證HF=MF，從而證得結(jié)論成立．
請(qǐng)你任選一種思路，完整地書寫本小題的證明過程（如用兩種方法作答，則以第一種方法評(píng)分）；
（2）類比探究
如圖2，若在△ABC中，∠ABC=90°，∠ADH=∠BAC=30°，且D，E的運(yùn)動(dòng)速度之比是 ：1，求 的值；
（3）延伸拓展
如圖3，若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，記 =m，且點(diǎn)D，E運(yùn)動(dòng)速度相等，試用含m的代數(shù)式表示 （直接寫出結(jié)果，不必寫解答過程）．

Answer 1

【答案】
（1）

證明（選擇思路一）：過點(diǎn)D作DG∥BC，交AC于點(diǎn)G，如圖1所示：

則∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A=∠B=∠ACB=60°，

∴∠ADG=∠AGD=∠A，

∴△ADG是等邊三角形，

∴GD=AD=CE，

∵DH⊥AC，

∴GH=AH，

∵DG∥BC，

∴∠GDF=∠CEF，∠DGF=∠ECF，

在△GDF和△CEF中，

，

∴△GDF≌△CEF（ASA），

∴GF=CF，

∴GH+GF=AH+CF，

即HF=AH+CF

（2）

解：過點(diǎn)D作DG∥BC，交AC于點(diǎn)G，如圖2所示：

則∠ADG=∠B=90°，

∵∠BAC=∠ADH=30°，

∴∠HGD=∠HDG=60°，

∴AH=GH=GD，AD= GD，

根據(jù)題意得：AD= CE，

∴GD=CE，

∵DG∥BC，

∴∠GDF=∠CEF，∠DGF=∠ECF，

在△GDF和△CEF中，

，

∴△GDF≌△CEF（ASA），

∴GF=CF，

∴GH+GF=AH+CF，

即HF=AH+CF，

∴ =2；

（3）

解： ，理由如下：

過點(diǎn)D作DG∥BC，交AC于點(diǎn)G，如圖3所示：

則∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，

∵AB=AC，∠BAC=36°，

∴∠ACB=∠B=∠ADG=∠AGD=72°，

∵∠ADH=∠BAC=36°，

∴AH=DH，∠DHG=72°=∠AGD，

∴DG=DH=AH，△ADG∽△ABC，△ADG∽△DGH，

∴ =m， =m，

∴△DGH∽△ABC，

∴ =m，

∴ =m，

∵DG∥BC，

∴△DFG∽△EFC，

∴ =m，

∴ =m，

即 =m，

∴ = ，

∴ = = = ．

【解析】（1）過點(diǎn)D作DG∥BC，交AC于點(diǎn)G，先證明△ADG是等邊三角形，得出GD=AD=CE，再證明GH=AH，由ASA證明△GDF≌△CEF，得出GF=CF，即可得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)D作DG∥BC，交AC于點(diǎn)G，先證出AH=GH=GD，AD= GD，由題意AD= CE，得出GD=CE，再證明△GDF≌△CEF，得出GF=CF，即可得出結(jié)論；（3）過點(diǎn)D作DG∥BC，交AC于點(diǎn)G，先證出 DG=DH=AH，再證明△ADG∽△ABC，△ADG∽△DGH，△DGH∽△ABC，得出 =m， =m，△DGH∽△ABC，得出 =m， =m，證明△DFG∽△EFC，得出 =m， =m， = ，即可得出結(jié)果．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解相似三角形的應(yīng)用的相關(guān)知識(shí)，掌握測(cè)高：測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常用“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成比例”的原理解決；測(cè)距：測(cè)量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的舉例，常構(gòu)造相似三角形求解．