Question

（本小題滿分14分）

如圖，已知拋物線y＝ax²＋bx＋c與x軸交于A（－1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）。設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，求解下列問題：

1.（1）求拋物線的解析式和D點(diǎn)的坐標(biāo)；

2.（2）過點(diǎn)D作DF∥軸，交直線BC于點(diǎn)F，求線段DF的長(zhǎng)，并求△BCD的面積；

3.（3）能否在拋物線上找到一點(diǎn)Q，使△BDQ為直角三角形？若能找到，試寫出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由。

 

Answer 1

 

1.解：（1）設(shè)拋物線的解析式為

  把（0，3）代入，解得，

   解析式為-----------------------2分

則點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，4）-----------------------2分

 

2.（2）設(shè)直線BC的解析式為，把B（3，0）代入，

解得，所以

∴DF=   -----------------------2分

△BCD的面積=   --------------2分

 

3.（3）①點(diǎn)即在拋物線上，CD=，BC=，。

∵，，∴ ∴，

這時(shí)與點(diǎn)重合點(diǎn)坐標(biāo)為----------------------------------2分

②如圖（4），若為，作QF⊥軸于，

軸于

可證

有

則點(diǎn)坐標(biāo)

即

化簡(jiǎn)為

即

解之為或

由得坐標(biāo)：----------2分

③若為

如圖（5），延長(zhǎng)交軸于，

作軸于，

軸于

可證明

即

則

得，

解法（1）過Q作QG∥軸交DE于點(diǎn)G，∴，，

∴，  ，解得（舍去），

代入解得，為

解法（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為

所在的直線方程為

則與的解為，得交點(diǎn)坐標(biāo)為···················· 2分

即滿足題意的點(diǎn)有三個(gè)，，

解析:略