Question

（2013•濰坊）如圖，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，在線段AB上取一點(diǎn)D，作DF⊥AB交AC于點(diǎn)F，現(xiàn)將△ADF沿DF折疊，使點(diǎn)A落在線段DB上，對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為A₁；AD的中點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為E₁，若△E₁FA₁∽△E₁BF，則AD=

16

5

．

Answer 1

分析：利用勾股定理列式求出AC，設(shè)AD=2x，得到AE=DE=DE₁=A₁E₁=x，然后求出BE₁，再利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出DF，然后利用勾股定理列式求出E₁F，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解得到x的值，從而可得AD的值．

解答：解：∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，
∴AC=

AB2-BC2

=

102-62

=8，
設(shè)AD=2x，
∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，將△ADF沿DF折疊，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為A₁，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E₁，
∴AE=DE=DE₁=A₁E₁=x，
∵DF⊥AB，∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△ABC∽△AFD，
∴

AD

AC

=

DF

BC

，
即

2x

8

=

DF

6

，
解得DF=

3

2

x，
在Rt△DE₁F中，E₁F=

DF2+DE12

=

( 3x 2 )2+x2

=

13 x

2

，
又∵BE₁=AB-AE₁=10-3x，△E₁FA₁∽△E₁BF，
∴

E1F

A1E1

=

BE1

E1F

，
∴E₁F²=A₁E₁•BE₁，
即（

13 x

2

）²=x（10-3x），
解得x=

8

5

，
∴AD的長(zhǎng)為2×

8

5

=

16

5

．
故答案為：

16

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的性質(zhì)，主要利用了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，綜合題，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．