Question

【題目】已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，直線l經過點A（不經過點B或點C），點C關于直線l的對稱點為點D，連接BD，CD．

（1）如圖1，

①求證：點在以點為圓心，為半徑的圓上.

②直接寫出∠BDC的度數(shù)（用含α的式子表示）為___________.

（2）如圖2，當α=60°時，過點D作BD的垂線與直線l交于點E，求證：AE=BD；

圖1 圖2

Answer 1

【答案】(1)①證明見解析；②；（2）證明見解析.

【解析】

（1）①連結AD，由線段的垂直平分線的性質得AD=AC，AB=AC，故可得AB=AC=AD，從而查得出結論；

②由圓周角定理可得出結論；

（2）連結CE，易證△CDE和△ABC為等邊三角形，從而可證，進而得出結論.

（1）①證明：連接，如圖1．

∵點與點關于直線對稱，

∴．

∵，

∴．

∴點在以為圓心，為半徑的圓上．

②點B,C,D在以A為圓心，AB為半徑的圓上，根據弧BC所對的圓周角是圓心角的一半，所以∠BDC=．

（2）證明：連接，如圖2．

∵°，

∴°．

∵，

∴°°．

∵點與點關于直線對稱，

∴．

∴是等邊三角形．

∴，°．

∵，°，

∴是等邊三角形．

∴，°．

∵，，

∴．

∴．

∴．