Question

如圖，⊙M與x軸交于A、B兩點，與y軸切于點C，且OA，OB的長是方程x²-4x+3=0的解．
（1）求M點的坐標．
（2）若P是⊙M上一個動點（不包括A、B兩點），求∠APB的度數(shù)．
（3）若D是劣弧

AB

的中點，當∠PAD等于多少度時，四邊形PADB是梯形？說明你的理由．

Answer 1

分析：（1）解方程x²-4x+3=0得x₁=1，x₂=3，則OA=1，OB=3，作圖ME⊥x軸，垂足為E，則E平分AB，Rt△AEM中，ME=

MA2-AE2

=

3

而求得點M．
（2）連接MA，MB，由MA=MB=AB=2知△MAB是正方形得到∠AMB=60°，
當P時優(yōu)弧

AB

上的點時，當P時劣弧

AB

上的點時，得到結(jié)果．
（3）若梯形PADB中PA∥BD，則∠PAD+∠ADB=180°由（2）可知∠ADB=150°，得到∠PAD=30°，若梯形PADB中PB∥AD，則∠PAD+∠APD=180°由（2）可知∠APB=30°而解得．

解答：解：（1）解方程x²-4x+3=0得x₁=1，x₂=3，
∴OA=1，OB=3，
作圖ME⊥x軸，垂足為E，則E平分AB，
∴E（2，0），即M得橫坐標為2，
故可得MA=MC=R=2，
在Rt△AEM中，ME=

MA2-AE2

=

3

，
∴M（2，

3

）

（2）連接MA，MB，由MA=MB=AB=2知△MAB是等邊三角形
∴∠AMB=60°
當P時優(yōu)弧

AB

上的點時，∠APB=

1

2

∠AMB=30°
當P時劣弧

AB

上的點時，∠APB=180°-

1

2

∠AMB=150°

（3）若梯形PADB中PA∥BD
則∠PAD+∠ADB=180°由（2）可知∠ADB=150°
∴∠PAD=30°
若梯形PADB中PB∥AD，則∠PAD+∠APD=180°，由（2）可知∠APB=30°
∴∠PAD=150°．

點評：此題綜合運用了相交弦定理、垂徑定理，由方程求得點的坐標，在正方形中，梯形中來計算弦，以及相關角度．