已知拋物線y=x2+(2n-1)x+n2-1(n為常數(shù)).

(1)

當(dāng)該拋物線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),并且頂點(diǎn)在第四象限時(shí),求出它所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;

(2)

設(shè)A是(1)所確定的拋物線上位于x軸下方且在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)A作x軸的平行線,交拋物線于另一點(diǎn)D,再作AB⊥x軸于B,DC⊥x軸于C.

①當(dāng)BC=1時(shí),求矩形ABCD的周長(zhǎng);

②試問(wèn)矩形ABCD的周長(zhǎng)是否存在最大值?如果存在,請(qǐng)求出這個(gè)最大值,并指出此時(shí)A點(diǎn)的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

答案:
解析:

(1)

由已知條件,得n2-1=0,解這個(gè)方程,得n1=1,n2=-1.當(dāng)n=1時(shí),得y=x2+x,此拋物線的頂點(diǎn)不在第四象限;當(dāng)n=-1時(shí),得y=x2-3x,此拋物線的頂點(diǎn)在第四象限.所以拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=x2-3x.

(2)

  解:由y=x2-3x,令y=0,得x2-3x=0,解得xl=0,x2=3,所以拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為(3,0),所以它的頂點(diǎn)為,對(duì)稱(chēng)軸為直線x=,其大致位置如圖所示.

 、僖?yàn)锽C=1,由拋物線和矩形的對(duì)稱(chēng)性易知OB=×(3-1)=1,所以B(1,0),所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)x=1,又因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線y=x2-3x上,所以點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y=12-3×1=-2,所以AB=|y|=|-2|=2,所以矩形ABCD的周長(zhǎng)為2(AB+BC)=2×(2+1)=6.

 、谝?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線y=x2-3x上,故可設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,x2-3x),所以B點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,0)(0<x<),所以BC=3-2x,A在x軸下方,所以x2-3x<0,所以AB=|x2-3x|=3x-x2,所以矩形ABCD的周長(zhǎng)P=2[(3x-x2)+(3-2x)]=-2(x-)2.因?yàn)閍=-2<0,所以當(dāng)x=時(shí),矩形ABCD的周長(zhǎng)P的最大值為

  解題指導(dǎo):(1)拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn),則可將點(diǎn)(0,0)代人函數(shù)表達(dá)式;再根據(jù)頂點(diǎn)在第四象限則可確定函數(shù)的表達(dá)式.

  (2)將矩形ABCD的周長(zhǎng)表示出來(lái),再根據(jù)其特點(diǎn)求出最大值.


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(1)填空:點(diǎn)C的坐標(biāo)是     ,b=   ,c=    ;
(2)求線段QH的長(zhǎng)(用含t的式子表示);
(3)依點(diǎn)P的變化,是否存在t的值,使以P、H、Q為頂點(diǎn)的三角形與△COQ相似?若存在,求出所有t的值;若不存在,說(shuō)明理由.

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(1)填空:點(diǎn)C的坐標(biāo)是     ,b=   ,c=    ;

(2)求線段QH的長(zhǎng)(用含t的式子表示);

(3)依點(diǎn)P的變化,是否存在t的值,使以P、H、Q為頂點(diǎn)的三角形與△COQ相似?若存在,求出所有t的值;若不存在,說(shuō)明理由.

 

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