Question

已知：拋物線y=ax²+bx+c經過點O（0，0），A（7，4），且對稱軸l與x軸交于點B（5，0）．
（1）求拋物線的表達式；
（2）如圖，點E、F分別是y軸、對稱軸l上的點，且四邊形EOBF是矩形，點C(5，

5

2

)是BF上一點，將△BOC沿著直線OC翻折，B點與線段EF上的D點重合，求D點的坐標；
（3）在（2）的條件下，點G是對稱軸l上的點，直線DG交CO于點H，S_△DOH：S_△DHC=1：4，求G點坐標．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法列方程組即可求出二次函數的系數，從而得到其解析式；
（2）根據翻折不變性，得到相等的線段和相等的角：BO=DO=5，CD=BC=

5

2

，∠OBC=∠ODC=90°，再根據互余關系，得到∠EOD=∠FDC，從而證出△EOD∽△FDC，再根據相似三角形的性質和矩形的性質列方程解答；
（3）過點H作HP⊥OB，根據等高的三角形面積比等于底的比，列出等式，求出OH與OC的比，從而得出D、H坐標，解出直線DG的表達，進而求出G點坐標．

解答：解：（1）由題意得

- b 2a =5 c=0 49a+7b+c=4

（1分），
解得

a=- 4 21 b= 40 21 c=0.

，
∴y=-

4

21

x2+

40

21

x．（3分）

（2）∵△BOC與△DOC重合，OB=5，BC=

5

2

，
∴BO=DO=5，CD=BC=

5

2

，∠OBC=∠ODC=90°，
∴∠EDO+∠FDC=90°，又∠EDO+∠EOD=90°，
∴∠EOD=∠FDC，
∵∠OED=∠DFC=90°，
∴△EOD∽△FDC，（2分）
∴

ED

FC

=

EO

DF

=

OD

CD

=

5

5 2

=2，（1分）
∵四邊形OEFB是矩形，
∴EF=OB，EO=FB，
設FC=x，則ED=2x，DF=5-2x，
∴EO=10-4x，
∴10-4x=

5

2

+x，解，得x=

3

2

，
∴ED=3，EO=4，
∴D（3，4）．（1分）

（3）過點H作HP⊥OB，垂足為點P．
∵S_△DOH：S_△DHC=1：4，
∴

S△DOH

S△DHC

=

OH

HC

=

1

4

，（1分）
∵HP⊥OB，CB⊥OB，
∴HP∥BC，
∴

OH

OC

=

OP

OB

=

PH

BC

=

1

5

，
∴OP=1，PH=

1

2

，
∴H(1，

1

2

)，（1分）
∴經過點D（3，4），H(1，

1

2

)的直線DG的表達式為y=

7

4

x-

5

4

，（1分）
∴G(5，

15

2

)．（1分）

點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定、翻折變換及三角形的面積等知識．主要考查學生數形結合的數學思想方法．