Question

如圖所示在三角形△ABC中AB=AC，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，則下列四個(gè)結(jié)論中，①AB上有一點(diǎn)與AC上一點(diǎn)到D的距離相等；②AD上任意一點(diǎn)到AB、AC的距離相等；③∠BDE=∠CDF；④BD=CD，AD⊥BC．其中正確的個(gè)數(shù)是

1. A.
   1個(gè)
2. B.
   2個(gè)
3. C.
   3個(gè)
4. D.
   4個(gè)

Answer 1

D
分析：利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，得①、②正確；通過證明△BED≌△CFD，可得到③中的結(jié)論；利用等腰三角形底邊上的中線、高線與頂角的角平分線三線合一，可得④中的結(jié)論．
解答：①∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，∴DE=DF，∴①AB上一點(diǎn)與AC上一點(diǎn)到D的距離相等；
②∵AD是△ABC的角平分線，角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，∴AD上任意一點(diǎn)到AB、AC的距離相等；
③∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠BED=∠CFD，DE=DF，∴△BED≌△CFD，∴BDE=∠CDF；
④∵AB=AC，AD是△ABC的角平分線，∴BD=CD，AD⊥BC．
所以①、②、③、④均正確，故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)等知識(shí)．根據(jù)相關(guān)知識(shí)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐個(gè)驗(yàn)證是正確解答本題的關(guān)鍵．