【題目】在平面直角坐標系中,拋物線y=﹣x2+bx+c經過點A、B,C,已知A(﹣1,0),C(0,3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖1,P為線段BC上一動點,過點P作y軸的平行線,交拋物線于點D,是否存在這樣的P點,使線段PD的長有最大值?若存在,求出這個最大值;若不存在,請說明理由;
(3)如圖2,拋物線的頂點為E,EF⊥x軸于點F,N是直線EF上一動點,M(m,0)是x軸一個動點,請直接寫出CN+MN+MB的最小值以及此時點M、N的坐標,直接寫出結果不必說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)存在,PD最大值為;(3),N(1,),M(,0).
【解析】
(1)y=﹣x2+bx+c經過點C,則c=3,將點A的坐標代入拋物線表達式:y=﹣x2+bx+3,即可求解;
(2)設點D(x,﹣x2+2x+3),則點P(x,﹣x+3),則PD=(﹣x2+2x+3)﹣(﹣x+3)=﹣x2+3x,即可求解;
(3)過點B作傾斜角為30°的直線BH,過點C作CH⊥BH交于點H,CH交對稱軸于點N,交x軸于點M,則點M、N為所求,即可求解.
(1)y=﹣x2+bx+c經過點C,則c=3,
將點A的坐標代入拋物線表達式:y=﹣x2+bx+3,得:0=-1-b+3,解得:b=2,
拋物線的表達式為:y=﹣x2+2x+3;
(2)存在,理由:
令y=0,得:﹣x2+2x+3=0,解得:x=﹣1或3,故點B(3,0),
設直線BC為y=kx+b,將點B、C的坐標代入得:
,解得:.
∴直線BC的表達式為:y=﹣x+3,
設點D(x,﹣x2+2x+3),則點P(x,﹣x+3),
則PD=(﹣x2+2x+3)﹣(﹣x+3)=﹣x2+3x=,
當x時,PD最大值為:;
(3)過點B作傾斜角為30°的直線BH,過點C作CH⊥BH交于點H,CH交對稱軸于點N,交x軸于點M,則點M、N為所求.
∵∠ABH=30°,∠MHB=90°,∴∠CMO=∠BMH=90°-30°=60°.
∵∠COB=90°,∴∠COM=30°,∴OC=OM.
∵OC=3,∴OM=,
∴M(,0),CM=2OM=,MF=OM-OF=,MB=OB-OM=.
∵∠FMN=60°,∴tan∠FMN=,∴,
∴NF=,∴N(1,).
CN+MNMB的最小值=CMMB=.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某公司營銷兩種產品,根據(jù)市場調研,確定兩條信息:
信息1:銷售種產品所獲利潤(萬元)與所銷售產品 (噸)之間存在二次函數(shù)關系,如圖所示
信息2:銷售種產品所獲利潤(萬元)與銷售產品(噸)之間存在正比例函數(shù)關系
根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1)求二次函數(shù)的表達式;
(2)該公司準備購進兩種產品共10噸,請設計一個營銷方案使銷售兩種產品獲得的利潤之和最大,最大利潤是多少萬元?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2018年12月5日,備受關注的鄭州奧體中心“一場兩館”主體結構已完成,裝飾裝修完成,據(jù)了解,鄭州奧體中心將作為2019年在鄭州市舉辦的第十一屆全國少數(shù)民族傳統(tǒng)體自運動會主辦場地,包括“一場兩館”,即萬個座位的體育場、萬個座位的體育館和和座位的游泳館,圖1是裝飾現(xiàn)場一輛吊車的實物圖,圖2是其工作示意圖,是可以伸縮的起重臂,其轉動點離地面的高度為當起重臂長度為,張角為時,求操作平臺離地面的高度(結果保留小數(shù)點后一位參考數(shù)據(jù):)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在一條筆直的公路上有A、B、C三地,C地位于A、B兩地之間.甲車從A地沿這條公路勻速駛向C地,乙車從B地沿這條公路勻速駛向A地,在甲、乙行駛過程中,甲、乙兩車各自與C地的距離y(km)與甲車行駛時間t(h)之間的函數(shù)關系如圖所示.則當乙車到達A地時,甲車已在C地休息了_____小時.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2019年3月19日,河南省教育廳發(fā)布《關于推進中小學生研學旅行的實施方案》,某中學為落實方案,給學生提供了以下五種主題式研學線路:A.“紅色河南”,B.“厚重河南”C.“出彩河南”,D.“生態(tài)河南”,E.“老家河南”為了解學生最喜歡哪一種研學線路(每人只選取一種),隨機抽取了部分學生進行調查,將調查結果繪制成如下不完整的統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖.根據(jù)以上信息解答下列問題:
調查結果統(tǒng)計表
主題 | 人數(shù)/人 | 百分比 |
A | 75 | n% |
B | m | 30% |
C | 45 | 15% |
D | 60 | |
E | 30 |
(1)本次接受調查的總人數(shù)為 人,統(tǒng)計表中m= ,n= .
(2)補全條形統(tǒng)計圖.
(3)若把條形統(tǒng)計圖改為扇形統(tǒng)計圖,則“生態(tài)河南”主題線路所在扇形的圓心角度是 .
(4)若該實驗中學共有學生3000人,請據(jù)此估計該校最喜歡“老家河南”主題線路的學生有多少人.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=1,且AC在直線l上,將△ABC繞點A順時針旋轉到①,可得到點P1,此時AP1=2;將位置①的三角形繞點P1順時針旋轉到位置②,可得到點P2,此時AP2=2+;將位置②的三角形繞點P2順時針旋轉到位置③,可得到點P3,此時AP3=3+;…按此規(guī)律繼續(xù)旋轉,直到點P2020為止,則AP2020等于_______.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在平面直角坐標系中.
(1)作出△ABC關于軸對稱的,并寫出三個頂點的坐標;
(2)直接寫出△ABC的面積為 ;
(3)在x軸上畫點P,使PA+PC最小.
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