【題目】如圖1,若拋物線L1的頂點(diǎn)A在拋物線L2上,拋物線L2的頂點(diǎn)B也在拋物線L1上(點(diǎn)A與點(diǎn)B不重合),我們定義:這樣的兩條拋物L(fēng)1 , L2互為“友好”拋物線,可見一條拋物線的“友好”拋物線可以有多條.

(1)如圖2,已知拋物線L3:y=2x2﹣8x+4與y軸交于點(diǎn)C,試求出點(diǎn)C關(guān)于該拋物線對稱軸對稱的點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)請求出以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的L3的友好拋物線L4的解析式,并指出L3與L4中y同時(shí)隨x增大而增大的自變量的取值范圍;
(3)若拋物y=a1 (x﹣m)2+n的任意一條友好拋物線的解析式為y=a2 (x﹣h)2+k,請寫出a1與a2的關(guān)系式,并說明理由.

【答案】
(1)

解:∵拋物線L3:y=2x2﹣8x+4,

∴y=2(x﹣2)2﹣4,

∴頂點(diǎn)為(2,4),對稱軸為x=2,

設(shè)x=0,則y=4,

∴C(0,4),

∴點(diǎn)C關(guān)于該拋物線對稱軸對稱的對稱點(diǎn)D的坐標(biāo)為:(4,4)


(2)

解:∵以點(diǎn)D(4,4)為頂點(diǎn)的L3的友好拋物線L4還過點(diǎn)(2,﹣4),

∴L4的解析式為y=﹣2(x﹣4)2+4,

由圖象可知,當(dāng)2≤x≤4時(shí),拋物線L3與L4中y同時(shí)隨x增大而增大


(3)

解:a1與a2的關(guān)系式為a1+a2=0或a1=﹣a2.…8分

理由如下:

∵拋物線y=a1 (x﹣m)2+n的一條“友好”拋物線的解析式為y=a2 (x﹣h)2+k,

∴y=a2 (x﹣h)2+k過點(diǎn)(m,n),且y=a1 (x﹣m)2+n過點(diǎn)(h,k),即

k=a1 (h﹣m)2+n…①

n=a2 (m﹣h)2+k…②

由①+②得(a1+a2)(h﹣m)2=0.

又“友好”拋物線的頂點(diǎn)不重合,

∴h≠m,

∴a1+a2=0或a1=﹣a2


【解析】(1)設(shè)x=0,求出y的值,即可得到C的坐標(biāo),把拋物線L3:y=2x2﹣8x+4配方即可得到拋物線的對稱軸,由此可求出點(diǎn)C關(guān)于該拋物線對稱軸對稱的對稱點(diǎn)D的坐標(biāo);(2)由(1)可知點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,4),再由條件以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的L3的“友好”拋物線L4的解析式,可求出L4的解析式,進(jìn)而可求出L3與L4中y同時(shí)隨x增大而增大的自變量的取值范圍;(3)根據(jù):拋物線L1的頂點(diǎn)A在拋物線L2上,拋物線L2的頂點(diǎn)B也在拋物線L1上,可以列出兩個(gè)方程,相加可得(a1+a2)(h﹣m)2=0.可得a1=﹣a2
【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn):1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn);增減性:當(dāng)a>0時(shí),對稱軸左邊,y隨x增大而減;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小.

練習(xí)冊系列答案
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A.
B.
C.
D.

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則正確的結(jié)論是(

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B.②④⑤
C.②③④
D.①④⑤

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