【題目】如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)O在對角線AC上,以OA的長為半徑的圓OAD,AC分別交于點(diǎn)EF,且∠ACB=∠DCE

1)判斷直線CE與⊙O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;

2)若AB2,BC4,求⊙O的半徑.

【答案】(1)直線CE與⊙O相切,理由見解析;(2)⊙O的半徑是

【解析】

(1)首先連接OE,由OE=OA與四邊形ABCD是矩形,易求得DEC+OEA=90°,即OEEC,即可證得直線CE與O的位置關(guān)系是相切;
(2)首先易證得CDE∽△CBA,然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例,即可求得DE的長,又由勾股定理即可求得AC的長,設(shè)O的半徑為R,在RtCOE中,CO2CE2+OE2,即可得方程(2R2R2+(2,解此方程即可求得O的半徑.

(1)直線CEO相切.

證明:連接OE,

OAOE

∴∠DACAEO,

∵∠ACBDCE

∴∠AEOACBDCE,

四邊形ABCD是矩形,

BCAD,

∴∠ACBDAC,

∵∠ACBDCE

∴∠DACDCE,

四邊形ABCD是矩形,

∴∠D=90°,

∴∠DCE+DEC=90°,

∴∠AEO+DEC=90°,

∴∠OEC=180°-90°=90°,

OEEC

OE為半徑,

直線CEO相切;

(2)解:四邊形ABCD是矩形,

∴∠BD=90°,

在RtACB中,ABBC×tanACB=4×=2,

由勾股定理得:AC=2,

∵∠ACBDCE,

tanDCE=tanACB,

在RtDCE中,CDAB=2,

DEDC×tanDCE=2×=1,

由勾股定理得:CE

設(shè)O的半徑為R,

在RtCOE中,CO2CE2+OE2,

(2R2=(2+ R2,

解得:R

O的半徑是

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2)如圖2,當(dāng)ABC是銳角三角形,ABC=αα≠60°)時,將ABC按照(1)中的方式旋轉(zhuǎn)α,連接C1B1,探究C1B1BC的位置關(guān)系,寫出你的探究結(jié)論,并加以證明;

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