Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c分別交 x軸于A（4，0）、B（1，0），交y軸于點(diǎn)C（0，﹣3），過點(diǎn)A的直線交拋物線與另一點(diǎn)D．

（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且Q點(diǎn)到x軸的距離為，連接PC、PQ，當(dāng)△PCQ周長(zhǎng)最小時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖2，在（2）的結(jié)論下，連接PD，在平面內(nèi)是否存在△A1P1D1，使△A1P1D1≌△APD（點(diǎn)A1、P1、D1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是A、P、D，A1P1平行于y軸，點(diǎn)P1在點(diǎn)A1上方），且△A1P1D1的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好落在拋物線上？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)A1的橫坐標(biāo)m；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣3，點(diǎn)D坐標(biāo)為（﹣2，）；（2）P為（1，0）；（3）存在，m=﹣或m= 或m=或m=﹣．

【解析】

（1）將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入解方程組即可．

（2）求出點(diǎn)Q坐標(biāo)，作點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)Q′，連接CQ′交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)△PCQ周長(zhǎng)最小，求出直線CQ′即可解決問題．

（3）分類討論①當(dāng)P1、A1在拋物線上時(shí)，由A1P1∥y軸，故不存在．②當(dāng)P1、D1在拋物線上時(shí)，設(shè)P1（t，t2﹣t﹣3）則D1（ ，t2﹣t）或（，t2﹣t）列出方程即可解決．③當(dāng)A1、D1在拋物線上時(shí)，設(shè)A1（（m，m2﹣m﹣3）則D1（，m2﹣m+3）或（，m2﹣m+3），列出方程即可解決．

解：（1）由題意得 ，

解得 ．

所以拋物線解析式為y=x2﹣x﹣3．

由 解得 或 ，所以點(diǎn)D坐標(biāo)為（﹣2，）．

（2）∵直線AC為y=x﹣3，= ，

∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（，），點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)Q′（，），連接CQ′交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)△PCQ周長(zhǎng)最小，

∵直線CQ′為y=3x﹣3，

∴直線CQ′與x軸的交點(diǎn)P為（1，0）．

（3）當(dāng)P1、A1在拋物線上時(shí)，由A1P1∥y軸，故不存在．

當(dāng)P1、D1在拋物線上時(shí)，設(shè)P1（t，t2﹣t﹣3）則D1（，t2﹣t）或（，t2﹣t）．

∴t2﹣t =（）2﹣（）﹣3，解得t=，此時(shí)m=t=，

或t2﹣t =（）2﹣（）﹣3，解得t=，此時(shí)m=t=，

當(dāng)A1、D1在拋物線上時(shí)，設(shè)A1（（m， m2﹣m﹣3）則D1（，m2﹣m+3）或（，m2﹣m+3）．

∴m2﹣m+3=（）2﹣（）﹣3，解得m=，

或m2﹣m+3=（）2﹣（）﹣3，解得m=﹣．