Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（12，0）、（12，6），直線與y軸交于點(diǎn)P，與邊OA交于點(diǎn)D，與邊BC交于點(diǎn)E．

（1）若，求k的值；

（2）在（1）的條件下，當(dāng)直線繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，與直線BC和x軸分別交于點(diǎn)N、M，問(wèn)：是否存在NO平分∠CNM的情況？若存在，求線段DM的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）在（1）的條件下，將矩形OABC沿DE折疊，若點(diǎn)O落在邊BC上，求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不在邊BC上，求將（1）中的直線沿y軸怎樣平移，使矩形OABC沿平移后的直線折疊，點(diǎn)O恰好落在邊BC上．

Answer 1

 解：（1）∵直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且，

 

即

（2）如圖1假設(shè)存在ON平分∠CNM的情況

①當(dāng)直線PM與邊BC和邊OA相交時(shí)，過(guò)O作OH⊥PM于H

∵ON平分∠CNM，OC⊥BC，

∴OH=OC=6

由（1）知OP=12，∴∠OPM=30°

∴OM=OP•tan30°=

；

②當(dāng)直線PM與直線BC和x軸相交時(shí)

同上可得（或由OM=MN解得）；

（3）如圖2假設(shè)沿DE將矩形OABC折疊，點(diǎn)O落在邊BC上O′處連接PO′、OO′，則有PO′=OP

由（1）得BC垂直平分OP，∴PO′=OO′

∴△OPO′為等邊三角形，∴∠OPD=30°

而由（2）知∠OPD＞30°

所以沿DE將矩形OABC折疊，點(diǎn)O不可能落在邊BC上

如圖3設(shè)沿直線將矩形OABC折疊，點(diǎn)O恰好落在邊BC上O′處

連接P′O′、OO′，則有P′O′=OP′=a

由題意得：CP′=a﹣6，∠OPD=∠AO′O

在Rt△OPD中，

在Rt△OAO′中，

即

在Rt△AP′O′中，由勾股定理得：

解得

所以將直線沿y軸向下平移個(gè)單位得直線，將矩形OABC沿直線折疊，點(diǎn)O恰好落在邊BC上．