Question

【題目】已知拋物線y＝ax2+bx+3經過點A（﹣1，0）、B（3，0），且與y軸交于點C，拋物線的對稱軸與x軸交于點D．

(1)求拋物線的解析式；

(2)點P是y軸正半軸上的一個動點，連結DP，將線段DP繞著點D順時針旋轉90°得到線段DE，點P的對應點E恰好落在拋物線上，求出此時點P的坐標；

(3)點M（m，n）是拋物線上的一個動點，連接MD，把MD2表示成自變量n的函數(shù)，并求出MD2取得最小值時點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）點P的坐標為（0，1+）；（3）MD2＝n2﹣n+4；點M的坐標為（ ，）或（，）．

【解析】

（1）根據(jù)點A，B的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）過點E作EF⊥x軸于點F，根據(jù)旋轉的性質及同角的余角相等，可證出△ODP≌△FED（AAS），由拋物線的解析式可得出點D的坐標，進而可得出OD的長度，利用全等三角形的性質可得出EF的長度，再利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出DF，OP的長，結合點P在y軸正半軸即可得出點P的坐標；（3）利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出m2﹣2m＝3﹣n，根據(jù)點D，M的坐標，利用兩點間的距離公式可得出MD2＝n2﹣n+4，利用配方法可得出當MD2取得最小值時n的值，再利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求出當MD2取得最小值時點M的坐標．

（1）將A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，得：，

解得：，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3．

（2）過點E作EF⊥x軸于點F，如圖所示．

∵∠OPD+∠ODP＝90°，∠ODP+∠FDE＝90°，

∴∠OPD＝∠FDE．

在△ODP和△FED中，，

∴△ODP≌△FED（AAS），

∴DF＝OP，EF＝DO．

∵拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴點D的坐標為（1，0），

∴EF＝DO＝1．

當y＝1時，﹣x2+2x+3＝1，

解得：x1＝1﹣（舍去），x2＝1+，

∴DF＝OP＝1+，

∴點P的坐標為（0，1+）．

（3）∵點M（m，n）是拋物線上的一個動點，

∴n＝﹣m2+2m+3，

∴m2﹣2m＝3﹣n．

∵點D的坐標為（1，0），

∴MD2＝（m﹣1）2+（n﹣0）2＝m2﹣2m+1+n2＝3﹣n+1+n2＝n2﹣n+4．

∵n2﹣n+4＝（n﹣）2+，

∴當n＝時，MD2取得最小值，此時﹣m2+2m+3＝，

解得：m1＝，m2＝．

∴MD2＝n2﹣n+4，

當MD2取得最小值時，點M的坐標為（，）或（，）．