【題目】如圖1,經(jīng)過點(diǎn)B(1,0)的拋物線與y軸交于點(diǎn)C,其頂點(diǎn)為點(diǎn)G,過點(diǎn)C作y軸的垂線交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)D,線段CO上有一動(dòng)點(diǎn)M,連接DM、DG.
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)求的最小值以及相應(yīng)的點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)如圖2,在(2)的條件下,以點(diǎn)A(﹣2,0)為圓心,以AM長為半徑作圓交x軸正半軸于點(diǎn)E.在y軸正半軸上有一動(dòng)點(diǎn)P,直線PF與⊙A相切于點(diǎn)F,連接EF交y軸于點(diǎn)N,當(dāng)PF∥BM時(shí),求PN的長.
【答案】(1);(2)最小值,M(0,);(3) .
【解析】
(1)將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入解析式即可求出a的值,即可確定函數(shù)解析式;
(2)過點(diǎn)O作直線l與x軸夾角為α,且,α=45°,過點(diǎn)M作MH⊥直線l于H,推出,則當(dāng)D、M、H共線時(shí),的值最小,最后求出DH的長即可解答;
(3)連接BM,延長FA交y軸于J.想辦法求出FJ,根據(jù)tan∠FPJ=tan∠OMB,可得=,由此構(gòu)建方程求出PF,再證明PN=PF即可解決問題.
解:(1)∵拋物線,經(jīng)過點(diǎn)B(1,0),
∴0=4a﹣,
∴a=
∴.
(2)如圖1:過點(diǎn)O作直線l與x軸夾角為α,且,α=45°,過點(diǎn)M作MH⊥直線l于H,
則有,
∴,
∴,
∴,
∴當(dāng)D,M,H共線時(shí),的值最小,
∵D(﹣1,﹣),直線l的解析式為y=﹣x,
∴直線DH的解析式為y=x﹣,
由,解得,
∴H(,﹣),M(0,),
∴DH==,
∵DG=﹣+=,
∴的最小值==.
(3)如圖2中,連接BM,延長FA交y軸于J.
∵A(﹣2,0),M(0,﹣),
∴AM=AF==,
∵B(1,0),
∴直線BM的解析式為y=x﹣,
∵PF是⊙A的切線,
∴PF⊥AF,
∵PF∥BM,
∴AF⊥BM,
∴直線AF的解析式為y=﹣x﹣,
∴J(0,﹣),
∴AJ==,
∴FJ=AF+AJ=,
∵PF∥BM,
∴∠FPJ=∠OMB,
∴tan∠FPJ=tan∠OMB,
∴=,
∴=,
∴PF=,
∵AF=AE,
∴∠AFE=∠AEF,
∵∠AFE+∠PFN=90°,∠AEN+∠ONE=90°,∠PNF=∠ENO,
∴∠PFN=∠PNF,
∴PN=PF= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根.
(1)求m的取值范圍;
(2)若方程的根為有理數(shù),求正整數(shù)m的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】每年的3月15日是“國際消費(fèi)者權(quán)益日”,許多家居商城都會(huì)利用這個(gè)契機(jī)進(jìn)行打折促銷活動(dòng).甲賣家的某款沙發(fā)每套成本為5000元,在標(biāo)價(jià)8000元的基礎(chǔ)上打9折銷售.
(1)現(xiàn)在甲賣家欲繼續(xù)降價(jià)吸引買主,問最多降價(jià)多少元,才能使利潤率不低于20%?
(2)據(jù)媒體爆料,有一些賣家先提高商品價(jià)格后再降價(jià)促銷,存在欺詐行為.乙賣家也銷售相同的沙發(fā),其成本、標(biāo)價(jià)與甲賣家一致,以前每周可售出8套,現(xiàn)乙賣家先將標(biāo)價(jià)提高,再大幅降價(jià)元,使得這款沙發(fā)在3月15日那一天賣出的數(shù)量就比原來一周賣出的數(shù)量增加了,這樣一天的利潤達(dá)到了50000元,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),某學(xué)校開展了“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”競(jìng)賽活動(dòng).九年級(jí)名學(xué)生參加了競(jìng)賽,結(jié)果所有學(xué)生成績(jī)都不低于分(滿分分).為了了解成績(jī)分布情況,學(xué)校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到如下不完整的統(tǒng)計(jì)表,根據(jù)表中所給信息,解答下列問題:
成績(jī)(分)分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
表中___ _ _ , _;
這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在_____ _范圍內(nèi);
若成績(jī)不小于分為優(yōu)秀,請(qǐng)估計(jì)九年級(jí)大約有多少名學(xué)生獲得優(yōu)秀成績(jī)?
競(jìng)賽中有這樣一道題目: 如圖,有兩個(gè)轉(zhuǎn)盤在每個(gè)轉(zhuǎn)盤各自的兩個(gè)扇形區(qū)域中分別標(biāo)有數(shù)字1,2,分別轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),若事件“指針都落在標(biāo)有數(shù)字的扇形區(qū)域內(nèi)”概率是,則轉(zhuǎn)盤中標(biāo)有數(shù)字的扇形的圓心角的度數(shù)是 .
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【題目】已知:如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A在x軸的正半軸上,點(diǎn)B、C在第一象限,且四邊形OABC是平行四邊形,AB=,sinB=,反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C以及邊AB的中點(diǎn)D,則四邊形OABC的面積為_____.
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【題目】某廠家接到一批特殊產(chǎn)品的生產(chǎn)訂單,客戶要求在兩周內(nèi)完成生產(chǎn),并商定這批產(chǎn)品的出廠價(jià)為每個(gè)16元.受市場(chǎng)影響,制造這批產(chǎn)品的某種原材料成本價(jià)持續(xù)上漲,設(shè)第x天(1≤x≤14,且x為整數(shù))每個(gè)產(chǎn)品的成本為m元,m與x之間的函數(shù)關(guān)系為m=x+8.訂單完成后,經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)工人王師傅第x天生產(chǎn)的產(chǎn)品個(gè)數(shù)y與x滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系:
(1)寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍;
(2)設(shè)王師傅第x天創(chuàng)造的產(chǎn)品利潤為W元,問王師傅第幾天創(chuàng)造的利潤最大?最大利潤是多少元?
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y = x2 – 2 m x – 2m – 2與直線y =-x-2 交于C,D兩點(diǎn),將拋物線在C、D兩點(diǎn)之間的部分(不含C、D)上恰有兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為整數(shù),則m的取值范圍為______.
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【題目】若拋物線與軸兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為2,稱此拋物線為定弦拋物線,已知某定弦拋物線的對(duì)稱軸為直線,將此拋物線向左平移2個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位,得到的拋物線過點(diǎn)( )
A. B. C. D.
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【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于A(﹣1,0),B(4,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求a,b的值
(2)若點(diǎn)D是拋物線上的一點(diǎn),且位于直線BC上方,連接CD,BD,AC.當(dāng)四邊形ABDC的面積有最大值時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo).
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