Question

如圖所示，梯形AOCD中，∠AOC=90°，AD=9，OC=10，AO=4在線段OC上任取一點(diǎn)N（不與O、C重合），連接DN，作NE⊥DN，與直線AO交于點(diǎn)E．
（1）當(dāng)CN=2時(shí)，求OE；
（2）若CN=t，OE=s，求s關(guān)于自變量t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）探索與研究：如圖2所示，分別以AO、OC所在的直線為y軸與x軸，O為原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)O沿線段OC向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)C沿線段CO向點(diǎn)O同時(shí)等速運(yùn)動(dòng)，設(shè)現(xiàn)有一點(diǎn)F（x，y）滿足MF⊥MN，NF⊥ND，試用含x的式子表示y．

Answer 1

解：（1）如圖所示，作DF⊥OC于F，
由題意知，CN=2，AD=9，OC=10．
∵AOCD是梯形且∠AOC=90°，
∴OF=AD=9，CF=OC-OF=1，NF=CN-CF=1，DF=OA=4．
∴在Rt△DFN中，tan∠DNF===4．
又∵NE⊥DN，∠AOC=90°，
∴∠DNF=∠OEN，tan∠OEN=tan∠DNF=4．
∴OE===2；

（2）如圖所示：
①當(dāng)0＜t＜1時(shí)由（1）知CF=1，所以此時(shí)N點(diǎn)在F點(diǎn)右側(cè)，E點(diǎn)在y軸負(fù)半軸
∵∠DNF=∠OEN，
∴tan∠DNF===tan∠OEN==，
即=，
∴s=．
②當(dāng)t＞1時(shí)，如圖所示N點(diǎn)在F點(diǎn)左側(cè)，E點(diǎn)則在y軸正半軸．
∵∠DNF=∠OEN，
∴tan∠DNF==tan∠OEN=，
即=，
∴S=；

（3）如圖所示：由圖知點(diǎn)F在第四象限，
∵M(jìn)F⊥MN，NF⊥ND，點(diǎn)F（x，y），M點(diǎn)、N點(diǎn)同時(shí)等速運(yùn)動(dòng)，
∴CN=OM=x．
又∵∠MFN+∠MNF=∠MNF+∠DNM=90°，
∴∠MFN=∠DNM，
即：tan∠MFN===tan∠DNM==，y＜0，
∴y=．
分析：由直角三角形的特性確定兩個(gè)相等的角方便之間的關(guān)系轉(zhuǎn)換，求s關(guān)于自變量t的函數(shù)關(guān)系式時(shí)要分清①0＜t＜1，②t＞1兩種情況．
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生結(jié)合變化的圖象求函數(shù)關(guān)系式的能力，主要運(yùn)用直角三角形的特殊性質(zhì)和正切性質(zhì)求解．