Question

【題目】開學(xué)初，小芳和小敏到學(xué)校商店購買學(xué)習(xí)用品，小芳用18元錢買了1支鋼筆和3本筆記本；小敏用31元錢買了同樣的鋼筆2支和筆記本5本．
（1）求每支鋼筆和每本筆記本各多少元？
（2）為了獎勵班上表現(xiàn)突出的學(xué)生，班主任張老師拿出200元錢交給班長，班長到學(xué)校商店購買上述價格的鋼筆和筆記本兩種獎品，計劃購買鋼筆和筆記本的數(shù)量共是45個，要求購買筆記本的數(shù)量不小于鋼筆數(shù)量的2倍．共有哪幾種購買方案？請寫出費用最少的方案及最少費用是多少元？

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)鋼筆的單價為x元，筆記本的單價為y元．

由題意得： ，

解得： ．

答：鋼筆的單價為3元，筆記本的單價為5元．

（2）解：設(shè)買a支鋼筆，則買筆記本（45﹣a）本，

由題意得， ，

解得：20≤a≤24，

∵a為正整數(shù)，

∴a=20，21，22，23，24，

∴購買方案有五種，分別是：

①買鋼筆20支，筆記本28本；

②買鋼筆21支，筆記本27本；

③買鋼筆22支，筆記本26本；

④買鋼筆23支，筆記本25本；

⑤買鋼筆24支，筆記本24本；

設(shè)買獎品所需費用為W，則：W=3a+5（48﹣a）=﹣2a+240，

∵k=﹣2＜0，W隨a的增大而減小，

∴當(dāng)a取最大值24時，W最小，W最小值=192，

答：購買獎品所需的最少費用為192元．

【解析】把文字翻譯成數(shù)學(xué)符號，構(gòu)建方程組模型是解此類題的關(guān)鍵；方案型問題就是要構(gòu)建雙邊不等式，有幾個整數(shù)解就有幾種方案；最值問題就是構(gòu)建函數(shù)，求自變量的范圍，在此范圍內(nèi)利用函數(shù)單調(diào)性解決最值問題.