Question

如圖，已知直線y=-

1

2

x+2與拋物線y=a （x+2）²相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在y軸上，M為拋物線的頂點(diǎn)．
（1）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)及該拋物線的解析式；
（2）若P為線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（A、B兩端點(diǎn)除外），連接PM，設(shè)線段PM的長(zhǎng)為l，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，請(qǐng)求出l²與x之間的 函數(shù)關(guān)系，并直接寫出自變量x的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，線段AB上是否存在點(diǎn)P，使以A、M、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）把x=0代入求出A的坐標(biāo)，求出直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，設(shè)P的坐標(biāo)是（x，-

1

2

x+2），根據(jù)勾股定理求出x即可；
（3）連接AM，求出AM，①當(dāng)PM=PA時(shí)，根據(jù)勾股定理得到

5

4

x²+2x+8=x²+（-

1

2

x+2-2）²，求出方程的解即可；同理②當(dāng)PM=AM時(shí)，求出P的坐標(biāo)；③當(dāng)PA=AM時(shí)，求出P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）A的坐標(biāo)是（0，2），拋物線的解析式是y=

1

2

（x+2）²．

（2）如圖，P為線段AB上任意一點(diǎn)，連接PM，
過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，
設(shè)P的坐標(biāo)是（x，-

1

2

x+2），則在Rt△PDM中，
PM²=DM²+PD²
即l²=（-2-x）²+（-

1

2

x+2）²=

5

4

x²+2x+8，
自變量x的取值范圍是：-5＜x＜0，
答：l²與x之間的函數(shù)關(guān)系是l²=

5

4

x²+2x+8，自變量x的取值范圍是-5＜x＜0．

（3）存在滿足條件的點(diǎn)P，
連接AM，由題意得，AM=

OA2+OM2

=2

2

，
①當(dāng)PM=PA時(shí)，

5

4

x²+2x+8=x²+（-

1

2

x+2-2）²，
解得：x=-4，
此時(shí)y=-

1

2

×（-4）+2=4，
∴點(diǎn)P₁（-4，4）；
②當(dāng)PM=AM時(shí)，

5

4

x²+2x+8=（2

2

）²，
解得：x₁=-

8

5

    x₂=0（舍去），
此時(shí)y=-

1

2

×（-

8

5

）+2=

14

5

，
∴點(diǎn)P₂（-

8

5

，

14

5

），
③當(dāng)PA=AM時(shí)，x²+（-

1

2

x+2-2）²=（2

2

）²，
解得：x₁=-

4 10

5

    x₂=

4 10

5

（舍去），
此時(shí)y=-

1

2

×（-

4 10

5

）+2=

2 10 +10

5

，
∴點(diǎn)P₃（-

4 10

5

，

2 10 +10

5

），
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)為：
P₁（-4，4）、P₂（-

8

5

，

14

5

）、P₃（-

4 10

5

，

2 10 +10

5

），
答：存在點(diǎn)P，使以A、M、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-4，4）或（-

8

5

，

14

5

）或（-

4 10

5

，

2 10 +10

5

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，勾股定理，解一元二次方程等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，求出符合條件的所有情況是解此題的關(guān)鍵．