【題目】如圖,以AB為直徑作半圓O,點(diǎn)C是半圓上一點(diǎn),∠ABC的平分線交⊙O于E,D為BE延長線上一點(diǎn),且∠DAE=∠FAE.
(1)求證:AD為⊙O切線;
(2)若sin∠BAC=,求tan∠AFO的值.
【答案】(1)見解析;(2)3
【解析】
(1)先利用角平分線定義、圓周角定理證明∠4=∠2,再利用AB為直徑得到∠2+∠BAE=90°,則∠4+∠BAE=90°,然后根據(jù)切線的判定方法得到AD為⊙O切線;
(2)先利用圓周角定理得到∠ACB=90°,則sin∠BAC=,設(shè)BC=3k,AC=4k,所以AB=5k.連接OE交OE于點(diǎn)G,如圖,利用垂徑定理得OE⊥AC,所以OE∥BC,AG=CG=2k,則OG=k,EG=k,再證明△EFG∽△BFC,利用相似比得到,于是可計(jì)算出FG=CG=k,然后根據(jù)正切的定義求解.
(1)證明:∵BE平分∠ABC,
∴∠1=∠2,
∵∠1=∠3,∠3=∠4,
∴∠4=∠2,
∵AB為直徑,
∴∠AEB=90°,
∵∠2+∠BAE=90°
∴∠4+∠BAE=90°,即∠BAD=90°,
∴AD⊥AB,
∴AD為⊙O切線;
(2)解:∵AB為直徑,
∴∠ACB=90°,
在Rt△ABC中,∵sin∠BAC=,
∴設(shè)BC=3k,AC=4k,則AB=5k.
連接OE交OE于點(diǎn)G,如圖,
∵∠1=∠2,
∴,
∴OE⊥AC,
∴OE∥BC,AG=CG=2k,
∴OG=BC=k,
∴EG=OE﹣OG=k,
∵EG∥CB,
∴△EFG∽△BFC,
∴,
∴FG=CG=k,
在Rt△OGF中,tan∠GFO=,
即tan∠AFO=3.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)O在對角AC上,以OA長為半徑的⊙O與AD、AC分別交于點(diǎn)E、F,且.
(1)求證:CE是⊙O的切線.
(2)若tan∠ACB=,AE=8,求⊙O的直徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC為等邊三角形,以邊BC為直徑的半圓與邊AB,AC分別交于D,F兩點(diǎn),過點(diǎn)D作DE⊥AC,垂足為點(diǎn)E.
(1)判斷DE與⊙O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)過點(diǎn)F作FH⊥BC,垂足為點(diǎn)H,若AB=4,求FH的長(結(jié)果保留根號).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線y=x分別與雙曲線y=(m>0,x>0),雙曲線y=(n>0,x>0)交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,且,將直線y=x向左平移6個單位長度后,與雙曲線y= 交于點(diǎn)C,若S△ABC=4,則的值為_____,mn的值為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)、,與軸交于點(diǎn).過點(diǎn)作軸于點(diǎn),,,連接,已知的面積等于6.
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式;
(2)若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn),求的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BC=20,DE是△ABC的中位線,點(diǎn)M是邊BC上一點(diǎn),BM=3,點(diǎn)N是線段MC上的一個動點(diǎn),連接DN,ME,DN與ME相交于點(diǎn)O.若△OMN是直角三角形,則DO的長是______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“低碳生活,綠色出行”是我們倡導(dǎo)的一種生活方式,某校為了解學(xué)生對共享單車的使用情況,隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查,并將這次調(diào)查的結(jié)果繪制了以下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
根據(jù)所給信息,解答下列問題:
(1)m= ;
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)這次調(diào)查結(jié)果的眾數(shù)是 ;
(4)已知全校共3000名學(xué)生,請估計(jì)“經(jīng)常使用”共享單車的學(xué)生大約有多少名?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《如果想毀掉一個孩子,就給他一部手機(jī)!》這是2017年微信圈一篇熱傳的文章.國際上,法國教育部宣布從 2018 年9月新學(xué)期起小學(xué)和初中禁止學(xué)生使用手機(jī).為了解學(xué)生手機(jī)使用情況,某學(xué)校開展了“手機(jī)伴我健康行”主題活動,他們隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行“使用手機(jī)目的”和“每周使用手機(jī)的時間”的問卷調(diào)查,并繪制成如圖①,②的 統(tǒng)計(jì)圖,已知“查資料”的人數(shù)是 40人.請你根據(jù)以上信息解答下列問題:
(1)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,“玩游戲”對應(yīng)的百分比為______,圓心角度數(shù)是______度;
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)該校共有學(xué)生2100人,估計(jì)每周使用手機(jī)時間在2 小時以上(不含2小時)的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)圖象的一部分,與x軸的交點(diǎn)A在點(diǎn)(2,0)和(3,0)之間,對稱軸是x=1.對于下列說法:①ab<0;②2a+b=0;③3a+c>0;④a+b≥m(am+b)(m為實(shí)數(shù));⑤當(dāng)﹣1<x<3時,y>0,其中正確的是( )
A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤
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