Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，點(diǎn)P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），DP交AC于點(diǎn)Q．

(1)求證：△APQ∽△CDQ;

(2)當(dāng)PD⊥AC時(shí)，求線段PA的長(zhǎng)度；

(3)當(dāng)點(diǎn)P在線段AC的垂直平分線上時(shí)，

求sin∠ CPB的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）PA=；（3）sin∠ CPB=.

【解析】

試題分析：（1）利用兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形易判斷△APQ∽△CDQ；（2）由條件可推出△APD∽△DAC，得出，代入數(shù)值可求出PA的值；（3）由勾股定理能夠求出PC的長(zhǎng)度，再在Rt△CBP中求sin∠ CPB的值.

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠CAB=∠DCA，∠APQ=∠CDQ，∴△APQ∽△CDQ .

（2）PD⊥AC，∴∠ACD+∠PDC=90° ，∵∠PDA+∠PDA=90°，∴∠ACD=∠PDA，∵∠ADC=∠PAD=90°，∴△ADC∽△PDA，∴，，∴PA=.（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段AC的垂直平分線上時(shí)，PA=PC.設(shè)PA=x，則PB=10-x.又在矩形ABCD中，∠B=90°，∴，∴.解得：x=，∴PC=PA=.∴sin∠CPB=