【題目】如圖,在△ABC中,ACBC5,AB8,點(diǎn)PAB上,點(diǎn)QACAC的延長線上,AQAP,以AP、AQ為鄰邊作菱形APRQ,設(shè)AP的長為x,菱形APRQ與△ABC重影部分圖形的面積為y(平方單位),

(1)sinA的值.

(2)當(dāng)x為何值時(shí),點(diǎn)R落在BC.

(3)當(dāng)菱形APRQ與△ABC重疊部分的圖形為四邊形時(shí),求yx的函數(shù)關(guān)系式.

(4)直接寫出當(dāng)x為何值時(shí),經(jīng)過三角形頂點(diǎn)的直線同時(shí)將菱形、三角形的面積二等分.

【答案】(1)sinA;(2)x(3)y=x2+3x+8;(4)滿足條件的x的值為.

【解析】

(1)如圖1中,作CDABD.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理求出CD即可解決問題.

(2)QRBC,可得,由此構(gòu)建方程即可解決問題.

(3)分兩種情形:①當(dāng)0x≤時(shí),重疊部分是菱形APRQ.②如圖3中,當(dāng)5≤x8時(shí),重疊部分是四邊形APMC,作MHPBH.分別求解即可.

(4)分兩種情形:連接ARPQ交于點(diǎn)O,當(dāng)點(diǎn)O在△ABC的中線BM上時(shí),滿足條件.如圖4中,作OHABACH.如圖5中,當(dāng)點(diǎn)O落在中線AD上時(shí),滿足條件.分別利用平行線分線段成比例定理,構(gòu)建方程即可解決問題.

解:(1)如圖1中,作CDABD.

CACB5,CDAB,

ADDB4,∠ADC90°,

CD3.

sinA,

(2)如圖2中,當(dāng)點(diǎn)R落在BC上時(shí),

QRBC,

,

,

x.

(3)①當(dāng)0x≤時(shí),重疊部分是菱形APRQ,SPAAQsinAxxx2.

②如圖3中,當(dāng)5≤x8時(shí),重疊部分是四邊形APMC,作MHPBH.

RtMPH中,PHBH

MHPHtanMPH

SSABCSPBM×8×5(8x)=﹣x2+3x+8.

(4)連接AR,PQ交于點(diǎn)O,當(dāng)點(diǎn)O在△ABC的中線BM上時(shí),滿足條件.如圖4中,作OHABACH.

OQOPOHPA,

AHHQxOHPAx,

OHAB,

,

,

解得x.

如圖5中,當(dāng)點(diǎn)O落在中線AD上時(shí),滿足條件.

OHAD,

,

解得x,

綜上所述,滿足條件的x的值為.

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