Question

【題目】如圖，直線y=2x+m(m>0) 與x軸交于點A(-2，0) （， ），直線與軸、軸分別交于、兩點，并與直線相交于點，若．

（1）求點的坐標；

（2）求出四邊形的面積；

（3）若為軸上一點，且為等腰三角形，直接寫出點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）D點坐標為（， ）；（2）；（3）點E的坐標為（2-2，0）、（-2-2，0）、（2，0）、（0，0）．

【解析】（1）先把A點坐標代入y=2x+m得到m=4，則y=-2x+4，再利用AB=4可得到B點坐標為（2，0），則把B點坐標代入y=-x+n可得到n=2，則y=-x+2，然后根據兩直線相交的問題，通過解方程組得到D點坐標；
（2）先確定C點坐標為（0，2），然后利用四邊形AOCD的面積=S△DAB-S△COB進行計算即可；
（3）先利用A、C兩點的坐標特征得到△ACO為等腰直角三角形，AC=2，然后分類討論：當AE=AC=2時，以A點為圓心，2畫弧交x軸于E1點和E2點，再寫出它們的坐標；當CE=CA時，E3點與點A關于y軸對稱，即可得到它的坐標；當EA=EC時，E4點為坐標原點．

解：（1）把A（-2，0）代入y=2x+m得-4+m=0，解得m=4，
∴y=-2x+4，
∵AB=4，A（-2，0），
∴B點坐標為（2，0），
把B（2，0）代入y=-x+n得-2+n=0，解得n=2，
∴y=-x+2，
解方程組，得，
∴D點坐標為（， ）；
（2）當x=0時，y=-x+2=2，
∴C點坐標為（0，2），
∴四邊形AOCD的面積=S△DAB-S△COB
=×4×-×2×2=；
（3）如圖所示，

∵A（-2，0），C（0，2），
∴AC=2，
當AE=AC=2時，E1點的坐標為（2-2，0），E2點的坐標為（-2-2，0）；
當CE=CA時，E3點的坐標為（2，0），
當EA=EC時，E4點的坐標為（0，0），
綜上所述，點E的坐標為（2-2，0）、（-2-2，0）、（2，0）、（0，0）．

“點睛”本題考查了兩條直線相交或平行的問題：兩條直線的交點坐標，就是由這兩條直線相對應的一次函數表達式所組成的二元一次方程組的解．若兩條直線是平行的關系，那么他們的自變量系數相同，即k值相同．也考查了分類討論思想的運用．