Question

如圖，長(zhǎng)方形紙片OABC放入平面直角坐標(biāo)系中，使OA、OC分別落在x軸、y）軸上，連結(jié)OB，將紙片OABC沿OB折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，A′B與y軸交于點(diǎn)F，且知OA=1，AB=2．
（1）分別求出OF的長(zhǎng)度和點(diǎn)A′坐標(biāo)；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)B的雙曲線為y=

k

x

（x＞0），則k=

2

；
（3）如果D為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點(diǎn)，且D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，在x軸上求一點(diǎn)P，使PB+PD最�。�

Answer 1

分析：（1）由折疊的性質(zhì)可得∠OBA=∠OBA′，再由AB∥OC可知∠OBA=∠COB，繼而得出∠COB=∠OBA′，故FB=FO，設(shè)FB=FO=x，則A′F=2-x，在Rt△OA′F中，根據(jù)勾股定理可得出OF，A′F的長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)A′作A′E垂直x軸于點(diǎn)E，易得△OA'E∽△OBA，利用對(duì)應(yīng)邊成比例，可得出A'E、OE，繼而得出點(diǎn)A'的坐標(biāo)．
（2）將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入y=

k

x

（x＞0），可得出k的值；
（3）先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D'，連接D'B，則D'B與x軸的交點(diǎn)即是點(diǎn)P的位置，求出D'B的長(zhǎng)度，即可得出答案．

解答：解：（1）由折疊的性質(zhì)得：∠OBA=∠OBA′，
∵AB∥OC，
∴∠OBA=∠COB，
∴∠OBA'=∠COB，
∴OF=BF，
設(shè)FB=FO=x，則A′F=2-x，
在Rt△OA′F中，A′O²+A′F²=OF²，即1²+（2-x）²=x²，
解得：x=

5

4

，
故OF=

5

4

；
過(guò)點(diǎn)A′作A′E垂直x軸于點(diǎn)E，如圖①所示：

易得△OA'E∽△OBA，
∴

OE

OA

=

A′E

AB

=

OA′

OB

=

1

5

，
∴OE=

5

5

，A′E=

2 5

5

，
故點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（-

5

5

，

2 5

5

）．
（2）∵OA=1，AB=2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2），
將點(diǎn)B（1，2）代入y=

k

x

（x＞0），可得：k=2．
（3）點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為x=2，代入y=

2

x

，可得y=1，
故點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，1），
作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D'，連接D'B，則D'B與x軸的交點(diǎn)即是點(diǎn)P的位置，如圖②所示：

點(diǎn)D'（2，-1），
設(shè)直線BD'的解析式為：y=kx+b，
則

2k+b=-1 k+b=2

，
解得：

k=-3 b=5

，
∴直線BD'的解析式為：y=-3x+5，
令y=0，可得x=

5

3

，
故點(diǎn)P的位置為（

5

3

，0），此時(shí)PB+PD最小，最小值=BD'=

(2-1)2+(-1-1)2

=

5

．
即PB+PD的最小值為

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合，涉及了翻折變換、待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式及軸對(duì)稱求最短路徑的知識(shí)，解答本題要求同學(xué)們具有扎實(shí)的基本功，注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．