Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（﹣ ，0）、B（3 ，0）、C（0，3）三點(diǎn)，線段BC與拋物線的對稱軸相交于D．該拋物線的頂點(diǎn)為P，連接PA、AD、DP，線段AD與y軸相交于點(diǎn)E．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)Q，使以Q、C、D為頂點(diǎn)的三角形與△ADP全等？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
（3）將∠CED繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)，邊EC旋轉(zhuǎn)后與線段BC相交于點(diǎn)M，邊ED旋轉(zhuǎn)后與對稱軸相交于點(diǎn)N，連接PM、DN，若PM=2DN，求點(diǎn)N的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+ ）（x﹣3 ），代入點(diǎn)C（0，3）后，得：

a（0+ ）（0﹣3 ）=3，解得 a=﹣

∴拋物線的解析式：y=﹣ （x+ ）（x﹣3 ）=﹣ x2+ x+3

（2）

解：設(shè)直線BC的解析式：y=kx+b，依題意，有：

，

解得 ．

故直線BC：y=﹣ x+3．

由拋物線的解析式知：P（ ，4），將點(diǎn)P的橫坐標(biāo)代入直線BC中，得：D（ ，2）．

設(shè)點(diǎn)Q（x，y），則有：

QC2=（x﹣0）2+（y﹣3）2=x2+y2﹣6y+9、QD2=（x﹣ ）2+（y﹣2）2=x2+y2﹣2 x﹣4y+7；

而：PA2=（﹣ ﹣ ）2+（0﹣4）2=28、AD2=（﹣ ﹣ ）2+（0﹣2）2=16、CD=PD=2；

△QCD和△APD中，CD=PD，若兩個三角形全等，則：

①Q(mào)C=AP、QD=AD時，

②QC=AD、QD=AP時，

解①、②的方程組，得： 、 、 、 ；

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3 ，4）、（ ，﹣2）、（﹣2 ，1）或（0，7）

（3）

解：根據(jù)題意作圖如右圖；

由D（ ，2）、B（3 ，0）知：DF=2，BF=2 ；

∴∠BDF=∠ADF=∠CDE=∠DCE=60°，即△CED是等邊三角形；

在△CEM和△DEN中，

∴△CEM≌△DEN，則 CM=DN，PM=2CM=2DN；

設(shè)點(diǎn)M（x，﹣ x+3），則有：

PM2=（ ﹣x）2+（4+ x﹣3）2= x2﹣ x+4、CM2=x2+ x2= x2；

已知：PM2=4CM2，則有：

x2﹣ x+4=4× x2，解得 x= ；

∴CM=DN= ×x= × = ；

則：FN=DF﹣DN=2﹣ = ，

∴點(diǎn)N（ ， ）．

【解析】（1）已知拋物線經(jīng)過的三點(diǎn)坐標(biāo)，直接利用待定系數(shù)法求解即可．（2）由于點(diǎn)Q的位置可能有四處，所以利用幾何法求解較為復(fù)雜，所以可考慮直接用SSS判定兩三角形全等的方法來求解．那么，首先要證明CD=DP，設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)后，表示出QC、QD的長，然后由另兩組對應(yīng)邊相等列方程來確定點(diǎn)Q的坐標(biāo)．（3）根據(jù)B、D的坐標(biāo)，容易判斷出△CDE是等邊三角形，然后通過證△CEM、△DEN全等來得出CM=DN，首先設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，表示出PM、CM的長，由PM=2DN=2CM列方程確定點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)一步得到CM的長后，即可得出DN的長，由此求得點(diǎn)N的坐標(biāo)．