Question

（2008•上海）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．二次函數(shù)y=-x²+bx+3的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），頂點(diǎn)為B．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并寫出頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）如果點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0），AE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，點(diǎn)D在直線AE上，DE=1，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入，可得出b的值，從而求出函數(shù)解析式，然后可得出頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)B作BF⊥x軸，垂足為點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DH⊥x軸，垂足為點(diǎn)H．由題意知，點(diǎn)H在點(diǎn)A的右側(cè)，則可得出△ADH∽△ACE，從而有

AH

AE

=

DH

CE

=

AD

AC

，然后分別討論，①若點(diǎn)D在AE的延長(zhǎng)線上，則AD=5，解出x和y的值，若點(diǎn)D在線段AE上，則AD=3，同理也可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=-x²+bx+3的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），
∴0=-1-b+3，
解得：b=2，
所求二次函數(shù)的解析式為y=-x²+2x+3，
則這個(gè)二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，4）；

（2）過點(diǎn)B作BF⊥x軸，垂足為點(diǎn)F，
在Rt△BCF中，BF=4，CF=3，BC=5，
∴sin∠BCF=

4

5

，
在Rt△ACE中，sin∠ACE=

AE

AC

，
又∵AC=5，可得

AE

5

=

4

5

，
∴AE=4，
過點(diǎn)D作DH⊥x軸，垂足為點(diǎn)H．由題意知，點(diǎn)H在點(diǎn)A的右側(cè)，
易證△ADH∽△ACE，
∴

AH

AE

=

DH

CE

=

AD

AC

，
其中CE=3，AE=4，
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，y），則AH=x+1，DH=y，
①若點(diǎn)D在AE的延長(zhǎng)線上，則AD=5，

得

x+1

4

=

y

3

=

5

5

，
∴x=3，y=3，
所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，3）；
②若點(diǎn)D在線段AE上，則AD=3．

得

x+1

4

=

y

3

=

3

5

，
∴x=

7

5

，y=

9

5

，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

7

5

，

9

5

）．
綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，3）或（

7

5

，

9

5

）．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的難點(diǎn)是第二問，關(guān)鍵是分類討論，注意不要漏解，難度一般．