Question

【題目】如圖，在中，，，，垂足為，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作交線段于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，交線段于點(diǎn)，設(shè)．

（1）用含的代數(shù)式表示線段的長；

（2）設(shè)的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；

（3）能否為直角三角形？如果能，求出的長；如果不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2），定義域?yàn)椋?/span>；（3）當(dāng)BP為或時(shí)，為直角三角形．

【解析】

（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得BD=CD=3，通過證明△ABD∽△GBP，可得，即可得出DG的長度；

（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，，根據(jù)三角形的面積公式即可表達(dá)出；

（3）分EF⊥PG，EF⊥PF兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出BP的長度．

解：（1）∵，，，

∴BD=CD=3

在Rt△ABD中，，

∵∠B=∠B，∠ADB=∠BPG=90°，

∴△ABD∽△GBP

∴，

∴，

∴，

故

（2）∵PF∥AC

∴△BFP∽△BCA

∴

即

∴

∴，

∵∠DGE+∠DEG=∠DGE+∠ABD，

∴∠DEG=∠ABD，∠ADG=∠ADB=90°，

∴△DEG∽△DBA

∴，

∴，

整理得：，

∴

定義域?yàn)椋?/span>

（3）若EF⊥PG時(shí)，

∵EF⊥PG，ED⊥FG，

∴∠FED+∠DEG=90°，∠FED+∠EFD=90°，

∴∠DEG=∠EFD，且∠EDF=∠EDG，

∴△EFD∽△GDE，

∴

∴，

∴，

整理得：，

解得：，（不合題意，舍去），

若EF⊥PF，

∴∠PFB+∠EFD=90°，且∠PFB=∠ACB，∠ACB+∠DAC=90°，

∴∠EFD=∠DAC，且∠EDF=∠ADC=90°，

∴△EDF∽△CDA

∴

，

解得：，

綜上所述，當(dāng)BP為或時(shí)，為直角三角形．