已知:射線OF交圓O于點(diǎn)B,半徑OA⊥OB,P是射線OF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),(不與O,B重合),直線AP交圓O于D,過D作圓O的切線交射線OF于E,
(1)圖a是點(diǎn)P在圓內(nèi)移動(dòng)時(shí)符合已知條件的圖形,請(qǐng)你在圖b中畫出點(diǎn)P在圓外移動(dòng)時(shí)符合已知條件的圖形;
(2)觀察圖形,點(diǎn)P在移動(dòng)過程中,△DPE的邊,角或形狀存在某些規(guī)律,請(qǐng)你通過觀察,測量,比較,寫出一條與△DPE的邊,角或形狀有關(guān)的規(guī)律;
(3)在點(diǎn)P移動(dòng)的過程中,設(shè)∠DEP的度數(shù)為x,∠OAP的度數(shù)為y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍.
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分析:(1)按要求作圖即可.
(2)圖a中,連接OD,則∠OAD=∠ODA,由切線的性質(zhì)易得∠ODA與∠AOP都是直角,因此∠PDE、∠DPE(即∠APO)是等角的余角,由此可證得∠PDE=∠EPD,所以DE=EP,△DEP是等腰三角形;
圖b的證法同上,結(jié)論與圖a相同.
(3)由(2)知:△DEP是等腰三角形,即可由三角形的內(nèi)角和定理及頂角∠DEP的度數(shù)表示出∠DPE的度數(shù),由于∠OAP、∠DPE互余,由此可求得y、x的函數(shù)關(guān)系式.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)圖象如右圖:

(2)∠EDP=∠DPE或ED=EP或△PDE是等腰三角形.
理由:圖a中,連接OD;
則∠OAD=∠ODA;精英家教網(wǎng)
又DE切⊙O于D,
∴∠ODE=∠POA=90°,
∴∠OPA=∠DPE=∠PDE,即DE=PE,△DPE是等腰三角形;
圖b的證法與圖a相同,結(jié)論一致.

(3)由題意得△PDE是等腰三角形,
∴∠EDP=∠DPE,
∴∠DPE=
180°-x
2
;
在Rt△OAP中,y+
180°-x
2
=90°,
∴y=
1
2
x
(0°<x<180°且x≠90°).
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了切線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的綜合應(yīng)用,難度適中.
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(3)在點(diǎn)P移動(dòng)過程中,設(shè)∠DEP的度數(shù)為x,∠OAP的度數(shù)為y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并精英家教網(wǎng)寫出自變量x的取值范圍.

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