【題目】如圖,已知拋物線b、c是常數(shù),且c0)與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸的負半軸交于點C,點A的坐標為(1,0)

1b______,點B的橫坐標為_______(上述結(jié)果均用含c的代數(shù)式表示);

2)連結(jié)BC,過點A作直線AE//BC,與拋物線交于點E.點Dx軸上一點,坐標為(2,0),當C、D、E三點在同一直線上時,求拋物線的解析式;

3)在(2)的條件下,點Px軸下方的拋物線上的一動點,連結(jié)PB、PC.設(shè)△PBC的面積為SS的取值范圍;△PBC的面積S為正整數(shù),則這樣的△PBC共有_____個.

【答案】1b=+c;B的橫坐標為-2c;(2)拋物線的解析式為y=x2-x-2;(311.

【解析】試題本題是二次函數(shù)的綜合題,其中涉及到運用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式,二次函數(shù)的性質(zhì),直線平移的規(guī)律,求兩個函數(shù)的交點坐標,三角形的面積,一元二次方程的根的判別及根與系數(shù)的關(guān)系等知識,綜合性較強,有一定難度,運用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵.

1)將A-1,0)代入y=x2+bx+c,可以得出b=+c;根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,得出-1xB=,即xB=-2c;

2)由y=x2+bx+c,求出此拋物線與y軸的交點C的坐標為(0,c),則可設(shè)直線BC的解析式為y=kx+c,將B點坐標代入,運用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y=x+c;由AE∥BC,設(shè)直線AE得到解析式為y=x+m,將點A的坐標代入,運用待定系數(shù)法求出直線AE得到解析式為y=x+;解方程組,求出點E坐標為(1-2c,1-c),將點E坐標代入直線CD的解析式y=-x+c,求出c=-2,進而得到拋物線的解析式為y=x2-x-2;

3分兩種情況進行討論:()當-1x0時,由0SSACB,易求0S5;()當0x4時,過點PPG⊥x軸于點G,交CB于點F.設(shè)點P坐標為(xx2-x-2),則點F坐標為(xx-2),PF=PG-GF=-x2+2xS=PFOB=-x2+4x=-x-22+4,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出S最大值=4,即0S≤4,則0S5

0S5,S為整數(shù),得出S=1,2,3,4.分兩種情況進行討論:()當-1x0時,根據(jù)△PBCBC邊上的高h小于△ABCBC邊上的高AC=,得出滿足條件的△PBC共有4個;()當0x4時,由于S=-x2+4x,根據(jù)一元二次方程根的判別式,得出滿足條件的△PBC共有7個;則滿足條件的△PBC共有4+7=11個.

試題解析:(1b=c+,點B的橫坐標為-2c

2)由y=x2+c+x+c=x+1)(x+2c),設(shè)Ex,x+1)(x+2c)).

如圖1,過點EEH⊥x軸于H

由于OB=2OC,當AE//BC時,AH=2EH

所以x+1=x+1)(x+2c).因此x=1-2c.所以E1-2c,1-c).

C、D、E三點在同一直線上時,.所以=

整理,得2c23c-2=0.解得c=-2c=(舍去).

所以拋物線的解析式為y=x2-x-2

3PBC下方時,過點Px軸的垂線交BCF,如圖2

直線BC的解析式為y=x-2

設(shè)Pm,m2-m-2),那么Pmm-2),FP=-m2+2m

所以SPBC=SPBFSPCF=FPxB-xC=2FP=-m2+4m=-m-22+4

因此當PBC下方時,△PBC的最大值為4

PBC上方時,因為S△ABC=5,所以S△PBC5

綜上所述,0S5

△PBC的面積S為正整數(shù),則這樣的△PBC共有11個.

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2)請將條形統(tǒng)計圖補充完整.

3)在被調(diào)查的學(xué)生中,喜歡籃球的有2名女同學(xué),其余為男同學(xué).現(xiàn)要從中隨機抽取2名同學(xué)代表班級參加;@球隊,請直接寫出所抽取的2名同學(xué)恰好是1名女同學(xué)和1名男同學(xué)的概率.

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1a=

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