11、請(qǐng)閱讀下列材料:
已知:如圖(1)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D、E分別為線(xiàn)段BC上兩動(dòng)點(diǎn),若∠DAE=45°.探究線(xiàn)段BD、DE、EC三條線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系.小明的思路是:把△AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ABE′,連接E′D,使問(wèn)題得到解決.請(qǐng)你參考小明的思路探究并解決下列問(wèn)題:
(1)猜想BD、DE、EC三條線(xiàn)段之間存在的數(shù)量關(guān)系式,直接寫(xiě)出你的猜想;
(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E在線(xiàn)段BC上,動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)在線(xiàn)段CB延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí),如圖(2),其它條件不變,(1)中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變?請(qǐng)說(shuō)明你的猜想并給予證明;
(3)已知:如圖(3),等邊三角形ABC中,點(diǎn)D、E在邊AB上,且∠DCE=30°,請(qǐng)你找出一個(gè)條件,使線(xiàn)段DE、AD、EB能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形,并求出此時(shí)等腰三角形頂角的度數(shù).
分析:(1)DE2=BD2+EC2,將△ADB沿直線(xiàn)AD對(duì)折,得△AFD,連FE,容易證明△AFD≌△ABD,然后可以得到AF=AB,F(xiàn)D=DB,∠FAD=∠BAD,∠AFD=∠ABD,再利用已知條件可以證明△AFE≌△ACE,從而可以得到∠DFE=∠AFD-∠AFE=135°-45°=90°,根據(jù)勾股定理即可證明猜想的結(jié)論;
(2)根據(jù)(1)的思路一樣可以解決問(wèn)題;
(3)當(dāng)AD=BE時(shí),線(xiàn)段DE、AD、EB能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形.如圖,與(1)類(lèi)似,以CE為一邊,作∠ECF=∠ECB,在CF上截取CF=CB,可得△CFE≌△CBE,△DCF≌△DCA,然后可以得到AD=DF,EF=BE.由此可以得到∠DFE=∠1+∠2=∠A+∠B=120°,這樣就可以解決問(wèn)題.
解答:解:(1)DE2=BD2+EC2

(2)關(guān)系式DE2=BD2+EC2仍然成立.
證明:將△ADB沿直線(xiàn)AD對(duì)折,得△AFD,連FE
∴△AFD≌△ABD,
∴AF=AB,F(xiàn)D=DB,
∠FAD=∠BAD,∠AFD=∠ABD,
又∵AB=AC,
∴AF=AC,
∵∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45°,
∠EAC=∠BAC-∠BAE=90°-(∠DAE-∠DAB)=45°+∠DAB,
∴∠FAE=∠EAC,
又∵AE=AE,
∴△AFE≌△ACE,
∴FE=EC,∠AFE=∠ACE=45°,∠AFD=∠ABD=180°-∠ABC=135°
∴∠DFE=∠AFD-∠AFE=135°-45°=90°,
∴在Rt△DFE中,DF2+FE2=DE2,
即DE2=BD2+EC2

(2)當(dāng)AD=BE時(shí),線(xiàn)段DE、AD、EB能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形.
如圖,與(1)類(lèi)似,以CE為一邊,作∠ECF=∠ECB,在CF上截取CF=CB,
可得△CFE≌△CBE,△DCF≌△DCA.
∴AD=DF,EF=BE.
∴∠DFE=∠1+∠2=∠A+∠B=120°.
若使△DFE為等腰三角形,只需DF=EF,即AD=BE,
∴當(dāng)AD=BE時(shí),線(xiàn)段DE、AD、EB能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形,且頂角∠DFE為120°.
點(diǎn)評(píng):此題比較復(fù)雜,考查了全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn),此題關(guān)鍵是正確找出輔助線(xiàn),通過(guò)輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題,要掌握輔助線(xiàn)的作圖根據(jù).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:閱讀理解

25、請(qǐng)閱讀下列材料:
已知:如圖1在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D、E分別為線(xiàn)段BC上兩動(dòng)點(diǎn),若∠DAE=45度.探究線(xiàn)段BD、DE、EC三條線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系.
小明的思路是:把△AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ABE′,連接E′D,使問(wèn)題得到解決.請(qǐng)你參考小明的思路探究并解決下列問(wèn)題:
(1)猜想BD、DE、EC三條線(xiàn)段之間存在的數(shù)量關(guān)系式,并對(duì)你的猜想給予證明;
(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E在線(xiàn)段BC上,動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)在線(xiàn)段CB延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí),如圖2,其它條件不變,(1)中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變?請(qǐng)說(shuō)明你的猜想并給予證明.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:閱讀理解

請(qǐng)閱讀下列材料:已知方程x2+x-3=0,求一個(gè)一元二次方程,使它的根分別是已知方程根的2倍.
解:設(shè)所求方程的根為y,則y=2x.
所以x=
y
2

把x=
y
2
代入已知方程,得(
y
2
2+
y
2
-3=0,化簡(jiǎn),得y2+2y-12=0.
故所求方程為y2+2y-12=0.
這種利用方程根的代換求新方程的方法,我們稱(chēng)為“換根法”.
問(wèn)題:已知方程x2+x-1=0,求一個(gè)一元二次方程,使它的根分別是已知方程根的3倍.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

請(qǐng)閱讀下列材料:
已知:如圖1在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D、E分別為線(xiàn)段BC上兩動(dòng)點(diǎn),若∠DAE=45度.探究線(xiàn)段BD、DE、EC三條線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系.
小明的思路是:把△AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ABE′,連接E′D,使問(wèn)題得到解決.請(qǐng)你參考小明的思路探究并解決下列問(wèn)題:
(1)猜想BD、DE、EC三條線(xiàn)段之間存在的數(shù)量關(guān)系式,并對(duì)你的猜想給予證明;
(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E在線(xiàn)段BC上,動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)在線(xiàn)段CB延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí),如圖2,其它條件不變,(1)中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變?請(qǐng)說(shuō)明你的猜想并給予證明.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:閱讀理解

請(qǐng)閱讀下列材料:

已知:如圖(1)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB = AC,點(diǎn)D、E分別為線(xiàn)段BC上兩動(dòng)點(diǎn),若∠DAE=45°.探究線(xiàn)段BD、DEEC三條線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系.小明的思路是:把△AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ABE′,連結(jié)E′D,使問(wèn)題得到解決.請(qǐng)你參考小明的思路探究并解決下列問(wèn)題:

(1)猜想BD、DE、EC三條線(xiàn)段之間存在的數(shù)量關(guān)系式,并對(duì)你的猜想給予證明;                     

(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E在線(xiàn)段BC上,動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)在線(xiàn)段CB延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí),如圖(2),其它條件 不變,(1)中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變?請(qǐng)說(shuō)明你的猜想并給予證明.

                                                             

 圖(2)

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