【題目】如圖1,拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),A(5,0)且AB=3OC,P為x軸上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)(P不與A,B重合),過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q,作PM與x軸平行,交拋物線另一點(diǎn)M,以PQ,PM為鄰邊作矩形PQNM.
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)設(shè)矩形PQNM的周長為C,求C的取值范圍;
(3)如圖2,當(dāng)P點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí),連接對(duì)角線PN,取PN上一點(diǎn)D(不與P,N重合),連接DM,作DE⊥DM,交x軸于點(diǎn)E.
①試求的值;
②試探求是否存在點(diǎn)D,使△DEN是等腰三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)D坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)y=x2+x+2;(2)C的取值范圍是0≤C≤;(3)①2,②存在點(diǎn)D,使△DEN是等腰三角形,符合條件的點(diǎn)D坐標(biāo)為(,)與(,2﹣).
【解析】
(1)先求出點(diǎn)C坐標(biāo),由AB=3OC和點(diǎn)A坐標(biāo)得到點(diǎn)B坐標(biāo),用待定系數(shù)法即求出拋物線解析式.
(2)設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)(p,),即能用p表示PQ;由PM∥x軸可知P、M關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱,即P、M到對(duì)稱軸的距離相等,故能用p表示M的橫坐標(biāo),進(jìn)而表示PM的長;由矩形PQNM周長等于PQ與PM的和的2倍,即用含p的二次式表示周長C,配方即得到其最值.再根據(jù)p的取值范圍,即能求C的取值范圍.
(3)①由P點(diǎn)與C點(diǎn)重合即求得P、M、N的坐標(biāo);由DE⊥DM,過D作x軸垂線FG,即構(gòu)造出△MDG∽△DEF,所以.
②對(duì)點(diǎn)E在點(diǎn)N左側(cè)和右側(cè)進(jìn)行分類討論:若點(diǎn)E在點(diǎn)N左側(cè),先說明∠DEN為鈍角,所以△DEN為等腰三角形時(shí)只有DE=EN一種情況.設(shè)點(diǎn)D橫坐標(biāo)為d,求直線PN解析式即得到D的縱坐標(biāo),進(jìn)而能用d表示所有線段的長,再在Rt△DEF中利用勾股定理列方程,即求出d的值;若點(diǎn)E在點(diǎn)N右側(cè),說明∠DNE為鈍角,得DN=EN,解題思路與第一種情況相同,即求出d的值.
(1)當(dāng)x=0時(shí),y=ax2+bx+2=2
∴C(0,2),OC=2
∴AB=3OC=6
∵A(5,0),即OA=5
∴OB=AB﹣OA=1
∴B(﹣1,0)
把A、B坐標(biāo)代入拋物線解析式得:
解得:
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為
(2)設(shè)P(p, )
∵PQ⊥x軸于Q,PM∥x軸
∴PQ=,點(diǎn)P、M關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱
∵拋物線對(duì)稱軸:直線
∴xM=2+(2﹣p)=4﹣p
∴PM=(4﹣p)﹣p=4﹣2p
∴C=2(PM+PQ)=
∵﹣1<p<5
∴當(dāng)p=時(shí),C有最大值為
∴C的取值范圍是0≤C≤
(3)①過點(diǎn)D作GF⊥x軸于點(diǎn)F,交PM于G
∴∠DFE=∠DGM=90°,DF∥y軸
∴四邊形MNFG是矩形,△DFN∽△PON
∴
∵P點(diǎn)與C點(diǎn)重合,P、M關(guān)于直線x=2對(duì)
∴P(0,2),M(4,2),N(4,0)
∴GF=MN=OP=2,PM=ON=4
∴
∵DE⊥DM
∴∠MDE=90°
∴∠MDG+∠EDF=∠EDF+∠DEF=90°
∴∠MDG=∠DEF
∴△MDG∽△DEF
∴
②存在點(diǎn)D,使△DEN是等腰三角形
設(shè)直線PN解析式為y=mx+n
∴ 解得:
∴直線PN解析式為y=﹣x+2
設(shè)D(d,﹣d+2)(0<d<4)
∴OF=d,DF=﹣d+2
∴FN=ON﹣OF=4﹣d,DG=FG﹣DF=2﹣(﹣d+2)=d
∵△MDG∽△DEF
∴
∴EF=DG=d
①當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)N左側(cè)時(shí),如圖1,
∵四邊形DENM中,∠MDE=∠MNE=90°,∠DMN<90°
∴∠DEN=360°﹣∠MDE﹣∠MNE﹣∠DMN=180°﹣∠DMN>90°
∴當(dāng)△DEN是等腰三角形時(shí),DE=EN=FN﹣EF=,
∵Rt△DEF中,DF2+EF2=DE2
∴
解得:d1=4(舍去),,
∴
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為
②當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)N右側(cè)時(shí),如圖2,∠DNE>90°
∴當(dāng)△DEN是等腰三角形時(shí),DN=EN=EF﹣FN=,
∵Rt△DFN中,DF2+FN2=DN2
∴
解得:,(舍去)
∴
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為
綜上所述,符合條件的點(diǎn)D坐標(biāo)為與.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,Rt△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A(﹣4,1),B(﹣1,3),C(﹣1,1)
(1)將△ABC以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°,畫出旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的△A1B1C1;平移△ABC,若A對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A2坐標(biāo)為(﹣4,﹣5),畫出△A2B2C2;
(2)若△A1B1C1繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可以得到△A2B2C2,直接寫出旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo) .
(3)在x軸上有一點(diǎn)P使得PA+PB的值最小,直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo) .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線,經(jīng)過點(diǎn)、,過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn).
(1)求拋物線的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)如圖,點(diǎn)是第一象限中上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)作于點(diǎn),作軸于點(diǎn),交于點(diǎn),在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中,的周長是否存在最大值?若存在,求出這個(gè)最大值;若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)如圖,連接,在軸上取一點(diǎn),使和相似,請(qǐng)求出符合要求的點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某居民小區(qū)有一朝向?yàn)檎戏较虻木用駱,該居民樓的一樓是?/span>5米的小區(qū)超市,超市以上是居民住房.在該樓的前面15米處要蓋一棟高20米的新樓.當(dāng)冬季正午的陽光與水平線的夾角為32°時(shí).
(1)問超市以上的居民住房采光是否有影響,為什么?
(2)若要使超市采光不受影響,兩樓應(yīng)相距多少米?(結(jié)果保留整數(shù),參考數(shù)據(jù):sin32°≈,cos32°≈,tan32°≈.)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為美化校園,計(jì)劃對(duì)面積為400平方米的花壇區(qū)域進(jìn)行綠化,安排甲工程隊(duì)或乙工程隊(duì)完成.已知甲隊(duì)平均每天完成綠化的面積是乙隊(duì)的2倍,并且甲隊(duì)比乙隊(duì)能少用4天完成任務(wù),求甲、乙兩工程隊(duì)平均每天能完成綠化的面積分別是多少平方米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)經(jīng)營A種品牌的玩具,購進(jìn)時(shí)的單價(jià)是30元,根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查:在一段時(shí)間內(nèi),銷售單價(jià)是40元時(shí),銷售量是600件,而銷售單價(jià)每漲1元,就會(huì)少售出10件玩具.
(1)不妨設(shè)該種品牌玩具的銷售單價(jià)為x元(x>40),請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示該玩具的銷售量.
(2)若玩具廠規(guī)定該品牌玩具銷售單價(jià)不低于44元,且商場(chǎng)要完成不少于450件的銷售任務(wù),求商場(chǎng)銷售該品牌玩具獲得的最大利潤是多少?
(3)該商場(chǎng)計(jì)劃將(2)中所得的利潤的一部分資金采購一批B種玩具并轉(zhuǎn)手出售,根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查并準(zhǔn)備兩種方案,方案①:如果月初出售,可獲利15%,并可用本和利再投資C種玩具,到月末又可獲利10%;方案②:如果只到月末出售可直接獲利30%,但要另支付倉庫保管費(fèi)350元,請(qǐng)問商場(chǎng)如何使用這筆資金,采用哪種方案獲利較多?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】特產(chǎn)店銷售一種水果,其進(jìn)價(jià)每千克40元,按60元出售,平均每天可售100千克,后來經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),單價(jià)每降低2元,則平均每天可增加20千克銷量.
(1)若該專賣店銷售這種核桃要想平均每天獲利2240元,每千克水果應(yīng)降多少元?
(2)若該專賣店銷售這種核桃要想平均每天獲利最大,每千克水果應(yīng)降多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】雙峰縣教育局要求各學(xué)校加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的安全教育,全縣各中小學(xué)校引起高度重視,小剛就本班同學(xué)對(duì)安全知識(shí)的了解程度進(jìn)行了一次調(diào)查統(tǒng)計(jì).他將統(tǒng)計(jì)結(jié)果分為三類,A:熟悉;B:了解較多;C:一般了解。圖①和圖②是他采集數(shù)據(jù)后,繪制的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)你根據(jù)圖中提供的信息解答以下問題:
(1)求小剛所在的班級(jí)共有多少名學(xué)生;
(2)在條形圖中,將表示“一般了解”的部分補(bǔ)充完整‘’
(3)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,計(jì)算“了解較多”部分所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù);
(4)如果小剛所在年級(jí)共1000名同學(xué),請(qǐng)你估算全年級(jí)對(duì)安全知識(shí)“了解較多”的學(xué)生人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是邊長為1的正方形,E,F為BD所在直線上的兩點(diǎn),若AE=,∠EAF=135°,則下列結(jié)論正確的是( 。
A. DE=1B. tan∠AFO=C. AF=D. 四邊形AFCE的面積為
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