Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，，以為直徑的⊙O與交于點(diǎn)，，垂足為，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．

（1）求證：是⊙O的切線.

（2）若⊙O的半徑為4，，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）DE=.

【解析】

（1）如圖，連接OD，由DE⊥AB可得∠AED=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠B=∠ACB，∠ODC=∠ACB，根據(jù)等量代換可得∠B=∠ODC，可證明OD//AB，可得∠AEF=∠ODF=90°，即可證明DE是⊙O的切線；（2）根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可求出OF的長(zhǎng)，即可求出AF的長(zhǎng)，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可求出AE的長(zhǎng)，利用勾股定理可求出DF、EF的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出DE的長(zhǎng).

如圖，連接OD

∵DE⊥AB，

∴∠AEF=90°，

∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB，

∵OD=OC，

∴∠ODC=∠ACB，

∴∠B=∠ODC，

∴OD//AB，

∴∠ODF=∠AEF=90°，

∵OD是⊙O的半徑，

∴DE是⊙O的切線.

（2）∵∠F=30°，OD=4，OD⊥EF，

∴OF=2OD=8，

∴AF=OF+OA=8+4=12，DF==，

∴AE=AF=6，EF==，

∴DE=EF-DF=-=.